Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình

\(\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  < 181 - 14x\) là

Điều kiện: \(x \ge \dfrac{6}{7}\)

Ta có \(\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  < 181 - 14x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  + 14x - 181 < 0(1)\).

Đặt \(t = \sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6} {\rm{  }}\left( {t > 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = 14x + 1 + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} \\ \Rightarrow 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  + 14x = {t^2} - 1\end{array}\)

 Phương trình (1) trở thành:

\(\begin{array}{l}t + {t^2} - 182 < 0 \Leftrightarrow \left( {t - 13} \right)\left( {t + 14} \right) < 0\\ \Leftrightarrow  - 14 < t < 13\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  < 13\\ \Leftrightarrow 14x + 1 + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  < 169\\ \Leftrightarrow \sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  < 84 - 7x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}84 - 7x \ge 0\\49{x^2} + 7x - 42 < 7056 - 1176x + 49{x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 12\\x < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 6\end{array}\)

Vậy \(x \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)