Bất đẳng thức

$\left| {a - b} \right| = \left| {a + \left( { - b} \right)} \right| \le \left| a \right| + \left| { - b} \right| = \left| a \right| + \left| b \right|$

Dấu “=” xảy ra khi $a\left( { - b} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab \le 0$.

Vì $1 > x > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 - x > 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} > 0$.

$\begin{array}{l}f\left( x \right) - 4 = \dfrac{4}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} - 4\\\, = \dfrac{4}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} - \dfrac{{4x}}{x}\\\,= \dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}}\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x}$ và $\dfrac{x}{{1 - x}}$ ta có:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) - 4 = \dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}}\\ \ge 2\sqrt {\dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} \cdot \dfrac{x}{{1 - x}}} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) - 4 = \dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} \ge 4\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 4 + 4\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 8\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > x > 0\\\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > x > 0\\4{\left( {1 - x} \right)^2} = {x^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > x > 0\\3{x^2} - 8x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}$

Vậy $\min f\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}B =  - {a^2} - 5{b^2} - 2a + 4ab + 10b - 6\\B =  - \left( {{a^2} + 5{b^2} + 2a - 4ab - 10b + 6} \right)\\B =  - \left[ {{a^2} + 2.a.\left( {1 - 2b} \right) + 1 - 4b + 4{b^2} + {b^2} - 6b + 9 - 4} \right]\end{array}$

$\begin{array}{l}B =  - \left[ {{a^2} + 2.a.\left( {1 - 2b} \right) + {{\left( {1 - 2b} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2} - 4} \right]\\B =  - \left[ {{{\left( {a - 2b + 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2} - 4} \right]\end{array}$

$B =  - {\left( {a - 2b + 1} \right)^2} - {\left( {b - 3} \right)^2} + 4$

Với mọi $a,\,\,b \in R$ ta có:

$\begin{array}{l} - {\left( {a - 2b + 1} \right)^2} \le 0\\ - {\left( {b - 3} \right)^2} \le 0\\ \Rightarrow  - {\left( {a - 2b + 1} \right)^2} - {\left( {b - 3} \right)^2} \le 0\\ \Rightarrow  - {\left( {a - 2b + 1} \right)^2} - {\left( {b - 3} \right)^2} + 4 \le 4\\ \Rightarrow B \le 4\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 1 = 0\\b - 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.$

Vậy $\max B = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}T = x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right)\\T = x\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\\T = \left( {{x^2} - 7x} \right)\left( {{x^2} - 7x + 12} \right)\\T = {\left( {{x^2} - 7x} \right)^2} + 12\left( {{x^2} - 7x} \right)\\T = {\left( {{x^2} - 7x} \right)^2} + 2.\left( {{x^2} - 7x} \right).6 + 36 - 36\\T = {\left( {{x^2} - 7x} \right)^2} + 2.\left( {{x^2} - 7x} \right).6 + 36 - 36\\T = {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)^2} - 36\end{array}$

Với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)^2} - 36 \ge  - 36\\ \Rightarrow T \ge  - 36\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.$

Vậy $\min T =  - 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.$.

Ta có:

$\begin{array}{l}A =  - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y\\ \Rightarrow  - 2A = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4x - 4y\\ \Leftrightarrow  - 2A = {x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 4y + 4 - 8\\ \Leftrightarrow  - 2A = {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 8\\ \Leftrightarrow A =  - \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} - 8} \right]\end{array}$

Với mọi $x,\,\,y \in R$ ta có:

${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$; ${\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$; ${\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0$

$\Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0$

$\Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 8 \ge  - 8$

$\Rightarrow  - \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} - 8} \right] \le 4$

$\Rightarrow A \le 4$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 2 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2$

$\Rightarrow \max A = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = 2$

Thay ${x_0} = {y_0} = 2$ vào biểu thức $3{x_0} + 2{y_0}$ ta được: $3.2 + 2.2 = 10$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {2x + 3y} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {3^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 3y} \right)^2} \le 13.52\\ \Leftrightarrow {A^2} \le 676\\ \Leftrightarrow \left| A \right| \le 26\\ \Leftrightarrow  - 26 \le A \le 26\end{array}$

$\max A = 26$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \ge 0\\2y = 3x\\{x^2} + {y^2} = 52\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \ge 0\\y = \dfrac{3}{2}x\\x^2 =16\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 6\end{array} \right.$

Vậy $\max A = 26 \Leftrightarrow x = 4;\,\,y = 6$.

Điều kiện: $x\ge1$

Ta có:

$M = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 1}  + 3}$$+ \sqrt {x - 4\sqrt {x - 1}  + 3}$

$M = \sqrt {x - 1 + 2.\sqrt {x - 1} .2 + {2^2}}$$+ \sqrt {x - 1 - 2.\sqrt {x - 1} .2 + {2^2}}$

$M = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)}^2}}$$+ \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)}^2}}$

$\begin{array}{l}M = \left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 1}  - 2} \right|\\M=\left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right| \end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

$\begin{array}{l}\left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right| \\\ge \left| {\sqrt {x - 1}  + 2 + 2 - \sqrt {x - 1} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right| \ge 4\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $\left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)\left( {2 - \sqrt {x - 1} } \right) \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  + 2 \ge 0\\2 - \sqrt {x - 1}  \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  + 2 \le 0\\2 - \sqrt {x - 1}  \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow  - 2 \le \sqrt {x - 1}  \le 2$.

Mà $\sqrt {x - 1}  \ge 0$ nên $0 \le \sqrt {x - 1}  \le 2$.

$\Rightarrow 0 \le x - 1 \le 4$

$\Rightarrow 1 \le x \le 5$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\1 \le x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}$

Tổng tất cả các giá trị của $x$ là: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

Ta có:

$\begin{array}{l}F = x + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\\ = x - 8y + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\\ = \left( {x - 8y} \right) + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\end{array}$

Vì $x > 8y > 0$ nên $x - 8y > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $x - 8y$, $8y$, $y\left( {x - 8y} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}F = \left( {x - 8y} \right) + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\\ \ge 3.\sqrt[3]{{\left( {x - 8y} \right).8y.\dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}}}\\ \Leftrightarrow F = \left( {x - 8y} \right) + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}} \ge 6\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $x - 8y = 8y = \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$

Vậy $\min F = 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ${x^2}$ và $\dfrac{1}{4}$ ta được: ${x^2} + \dfrac{1}{4} \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \dfrac{1}{4}}  = x\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ${y^2}$ và $\dfrac{1}{4}$ ta được: ${y^2} + \dfrac{1}{4} \ge 2\sqrt {{y^2} \cdot \dfrac{1}{4}}  = y\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ${z^2}$ và $\dfrac{1}{4}$ ta được: ${z^2} + \dfrac{1}{4} \ge 2\sqrt {{z^2} \cdot \dfrac{1}{4}}  = z\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$

Lấy $\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}{x^2} + \dfrac{1}{4} + {y^2} + \dfrac{1}{4} + {z^2} + \dfrac{1}{4} \ge x + y + z\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge \dfrac{9}{4}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} \ge \dfrac{9}{4}\\ \Leftrightarrow A \ge \dfrac{9}{4}\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{1}{4}\\{y^2} = \dfrac{1}{4}\\{z^2} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{2}\\z = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{2}$

Vậy $\min A = \dfrac{9}{4}$$\Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{2}$.

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x,y$ ta có:

$xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4}$$\Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4}$

$P = xy + \dfrac{1}{{xy}} = \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $xy$ và $\dfrac{1}{{16xy}}$ ta có:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) \ge 2\sqrt {xy \cdot \dfrac{1}{{16xy}}} \\ \Rightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}}\\ \ge 2\sqrt {xy \cdot \dfrac{1}{{16xy}}}  + \dfrac{{15}}{{16xy}}\\ \Leftrightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}} \ge \dfrac{1}{2} + \dfrac{{15}}{{16}} \cdot \dfrac{1}{{xy}}\\ \Leftrightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}} \ge \dfrac{1}{2} + \dfrac{{15}}{{16}} \cdot 4\\ \Leftrightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}} \ge \dfrac{{17}}{4}\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.

Vậy $\min P = \dfrac{{17}}{4} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$.

Ta có: $a,\,\,b > 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} > 0\\ab > 0\end{array} \right.$

$P = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}$$= \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\dfrac{1}{{2ab}}$ và $\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}$ , ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{2ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge \dfrac{1}{{2ab}} + 2\sqrt {\dfrac{1}{{2ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge \dfrac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 2\sqrt {\dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \end{array}$

Mà $a + b = 1$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge 6$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = \dfrac{1}{2}$.

Vậy $\min P = 6 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}$.

Theo đề bài, ta có:

$\begin{array}{l}A = {a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).17\\ = \dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai bộ số $\left( {{a^2},\dfrac{1}{{{a^2}}}} \right)$ và $\left( {{4^2},1} \right)$

$\dfrac{1}{{17}}.\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right).\left( {{4^2} + 1} \right)$$\ge \dfrac{1}{{17}}{\left( {4a + \dfrac{1}{a}} \right)^2}\,$

$\Rightarrow A \ge 17.{\left( {\dfrac{a}{4} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{4}a} \right)^2} \ge 17.{\left( {1 + \dfrac{{15}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17}}{4}$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow a = 2$.

Vậy $\min A = \dfrac{{17}}{4} \Leftrightarrow a = 2$.

Nếu $x + y > 0$ thì ít nhất một trong hai số $x$, $y$ phải dương.

Thật vậy nếu $\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \le 0\end{array} \right.$$\Rightarrow x + y \le 0$ mâu thuẫn nên B đúng.

Ngoài ra có thể kiểm tra các đáp án còn lại sai bằng cách lấy phản ví dụ.

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

$\bullet$ $\dfrac{1}{a} - \sqrt a  = \dfrac{{1 - a\sqrt a }}{a}$ $= \dfrac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a  + a} \right)}}{a} > 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} > \sqrt a ,\,\,\forall a \in \left( {0;1} \right)$ $\Rightarrow$ A đúng.

$\bullet$ $a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{{{a^2} - 1}}{a}$ $= \dfrac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{a} < 0$ $\Leftrightarrow a < \dfrac{1}{a},\,\,\forall a \in \left( {0;1} \right)$ $\Rightarrow$ B sai.

$\bullet$ $a - \sqrt a  = \sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) < 0$ $\Leftrightarrow a < \sqrt a ,\,\,\forall a \in \left( {0;1} \right)$ $\Rightarrow$ C sai.

$\bullet$ ${a^3} - {a^2} = {a^2}\left( {a - 1} \right) < 0$ $\Leftrightarrow {a^3} < {a^2},\,\,\,\forall a \in \left( {0;1} \right)$ $\Rightarrow$ D sai.

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có ${x^2} + 4 \ge 2\sqrt {{x^2}.4}  = 4x$$\Rightarrow f\left( x \right) \le \dfrac{x}{{4x}} = \dfrac{1}{4}.$

Dấu  xảy ra $\Leftrightarrow x = 2.$

Vậy $M = \dfrac{1}{4}.$

Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 1}}.$

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có ${x^2} + 1 \ge 2\sqrt {{x^2}.1}  = 2x$ $\Rightarrow {x^2} + 2x + 1 \ge 4x$

$\Rightarrow f\left( x \right) \le \dfrac{x}{{4x}} = \dfrac{1}{4}.$ Dấu  xảy ra $\Leftrightarrow x = 1.$

Vậy $M = \dfrac{1}{4}.$

A đúng vì phép cộng không làm thay đổi dấu của bất đẳng thức.

B đúng vì theo bất đẳng thức Cô si ta có: $a + \dfrac{1}{a} \ge 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}=2\,\,\forall a > 0$.

C đúng vì ta sử dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số a và b.

Ta có C sai, nếu $a=1, b=-1 \Rightarrow \dfrac{1}{1} < \dfrac{1}{-1}\,\,$ là sai.

$a + 2c > b + 2c$$\Leftrightarrow a > b$$\Leftrightarrow 2a > 2b$.

Không có tính chất hiệu hai vế bất đẳng thức.

Ví dụ $\left\{ \begin{array}{l}1 < 2\\ - 5 < 1\end{array} \right.$$\Rightarrow 1 - \left( { - 5} \right) < 2 - 1$, Sai.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3 - 2y \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\y \le \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

*) Tìm GTNN

${\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}$$= x - 2y + 2 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {3 - 2y} \right)}$

Ta có: $x - 2y + 2 = 2\sqrt {x - 2y + 2 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {3 - 2y} \right)} }  \ge 2\sqrt {x - 2y + 2}  \ge 0$

$\Rightarrow S = x - 2y \ge  - 2$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $x = 1$; $y = \dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow {\mathop{\rm m}\nolimits}  = \min S =  - 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

*) Tìm GTLN

Ta có:

$\begin{array}{l}x - 2y + 2 = 2\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - 2y} } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4{\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4{\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4\left( {x - 1 + 3 - 2y + 2\sqrt {x - 1} .\sqrt {3 - 2y} } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4\left( {x - 2y + 2 + 2\sqrt {x - 1} .\sqrt {3 - 2y} } \right) \le 4\left( {x - 2y + 2 + x - 2y + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} \le 8\left( {x - 2y + 2} \right)\\ \Leftrightarrow x - 2y + 2 \le 8\\ \Leftrightarrow x - 2y \le 6\\ \Leftrightarrow S \le 6\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3 - 2y\\x - 2y = 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow M = \max \,S = 6$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $M + m = 6 + \left( { - 2} \right) = 4$.