Cho \(x,\,\,y,\,\,z > 0\) và \(x + y + z = \dfrac{3}{2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2}\) bằng

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \({x^2}\) và \(\dfrac{1}{4}\) ta được: \({x^2} + \dfrac{1}{4} \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \dfrac{1}{4}}  = x\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \({y^2}\) và \(\dfrac{1}{4}\) ta được: \({y^2} + \dfrac{1}{4} \ge 2\sqrt {{y^2} \cdot \dfrac{1}{4}}  = y\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \({z^2}\) và \(\dfrac{1}{4}\) ta được: \({z^2} + \dfrac{1}{4} \ge 2\sqrt {{z^2} \cdot \dfrac{1}{4}}  = z\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Lấy \(\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + \dfrac{1}{4} + {y^2} + \dfrac{1}{4} + {z^2} + \dfrac{1}{4} \ge x + y + z\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge \dfrac{9}{4}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} \ge \dfrac{9}{4}\\ \Leftrightarrow A \ge \dfrac{9}{4}\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{1}{4}\\{y^2} = \dfrac{1}{4}\\{z^2} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{2}\\z = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\min A = \dfrac{9}{4}\)\( \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{2}\).