Cho biểu thức: \(B =  - {a^2} - 5{b^2} - 2a + 4ab + 10b - 6.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

Ta có:

\(\begin{array}{l}B =  - {a^2} - 5{b^2} - 2a + 4ab + 10b - 6\\B =  - \left( {{a^2} + 5{b^2} + 2a - 4ab - 10b + 6} \right)\\B =  - \left[ {{a^2} + 2.a.\left( {1 - 2b} \right) + 1 - 4b + 4{b^2} + {b^2} - 6b + 9 - 4} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B =  - \left[ {{a^2} + 2.a.\left( {1 - 2b} \right) + {{\left( {1 - 2b} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2} - 4} \right]\\B =  - \left[ {{{\left( {a - 2b + 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2} - 4} \right]\end{array}\)

\(B =  - {\left( {a - 2b + 1} \right)^2} - {\left( {b - 3} \right)^2} + 4\)

Với mọi \(a,\,\,b \in R\) ta có:

\(\begin{array}{l} - {\left( {a - 2b + 1} \right)^2} \le 0\\ - {\left( {b - 3} \right)^2} \le 0\\ \Rightarrow  - {\left( {a - 2b + 1} \right)^2} - {\left( {b - 3} \right)^2} \le 0\\ \Rightarrow  - {\left( {a - 2b + 1} \right)^2} - {\left( {b - 3} \right)^2} + 4 \le 4\\ \Rightarrow B \le 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 1 = 0\\b - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\max B = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\)