Đại cương về bất phương trình

Với $x = 1$ thì ${1^2} + 3.1 > 0$ nên $x = 1$ không thuộc tập nghiệm.

Với $x =  - 3$ thì ${\left( { - 3} \right)^2} + 3.\left( { - 3} \right) = 0$ nên $x =  - 3$ không thuộc tập nghiệm.

Với $x = 0$ thì ${0^2} + 3.0 = 0$ nên $x = 0$ không thuộc tập nghiệm.

Với $x =  - 1$ thì ${\left( { - 1} \right)^2} + 3.\left( { - 1} \right) =  - 2 < 0$ đúng nên $x =  - 1$ thuộc tập nghiệm.

Ta có: $S = \left\{ {x \in R, - 2 \le x \ne 4} \right\} = \left[ { - 2;4} \right]$

Điều kiện xác định: $x \ge 0$.

Bất phương trình xác định khi$\left\{ \begin{array}{l}x - 5 > 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 5\\x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset .$

Bất phương trình xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \ge 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x - m \ge 0\\6 - 2x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\x \le 3\end{array} \right..$

• Nếu $m > 3$ thì tập xác định của hàm số là $D = \emptyset .$
• Nếu $m \le 3$ thì tập xác định của hàm số là $D = \left[ {m;3} \right].$

Điều kiện:$x \ne 2.$

Bất phương trình tương đương với: $2x < 5 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}$.

Kết hợp với điều kiện ta có $x < \dfrac{5}{2}$ và $x \ne 2$.

Nếu ta cộng $\dfrac{1}{{x - 3}}$ vào hai vế bất phương trình $2x - 1 \ge 0$ thì điều kiện của bất phương trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai.

Tương tự nếu ta nhân hoặc chia hai vế bất phương trình đã cho với $\sqrt {x - 2018}$ thì điều kiện của bất phương trình ban đầu cũng sẽ thay đổi suy ra đáp án C và D sai.

Bất phương trình $\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \le 0$ có điều kiện $x \ge 0$.

Khi đó $x+1>0$ nên bpt $\Leftrightarrow x = 0$

Ta có: $\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  \le 0 \Leftrightarrow x{\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\end{array} \right..$ Đáp án A sai.

Ta có: $\left( {x + 1} \right)\sqrt x  < 0$ vô nghiệm vì từ điều kiện $x \ge 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt x  \ge 0$. Đáp án B sai.

Ta có: ${\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \le 0 \Leftrightarrow x = 0.$ Đáp án C đúng.

Bpt đáp án D vô nghiệm vì ${\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \ge 0$ với mọi x.

Bất phương trình $\sqrt {x - 1}  \ge x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 1 \ge {x^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset$

Ta có: $\left( {1 - 2x} \right)\sqrt {x - 1}  \ge x\left( {1 - 2x} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1}  \le x\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$

Đáp án A sai.

Ta có: $\left( {2x + 1} \right)\sqrt {x - 1}  \ge x\left( {2x + 1} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1}  \ge x\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset$

Đáp án B đúng.

• Thay $m = 1$, thì hệ số của $x$ ở $\left( 1 \right)$ dương, hệ số của $x$ ở $\left( 2 \right)$ dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa.
• Thay $m = 0$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 3} \right)x \ge 3m - 6 \Rightarrow 3x \ge - 6 \leftrightarrow x \ge - 2\\\left( {2m - 1} \right)x \le m + 2 \Rightarrow  - x \le 2 \leftrightarrow x \ge  - 2\end{array} \right.$. Ta thấy thỏa mãn nhưng chưa đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án D cũng có $m = 0$. Ta thử tiếp $m = 4$.
• Thay $m = 4$, thì hệ số của $x$ ở $\left( 1 \right)$ dương, hệ số của $x$ ở $\left( 2 \right)$ dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa mãn.

Vậy với $m = 0$ thỏa mãn.

Phương trình xác định  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \ne 1\end{array} \right..$

Với $x = 1$ thì ${3.1^2} + 1 > 0$ đúng nên $x = 1$ thuộc tập nghiệm.

Với $x =  - 3$ thì $3.{\left( { - 3} \right)^2} + \left( { - 3} \right) = 24 > 0$ đúng nên $x = -3$ thuộc tập nghiệm.

Với $x =  - \dfrac{1}{6}$ thì $3.{\left( { - \dfrac{1}{6}} \right)^2} + \left( { - \dfrac{1}{6}} \right) =  - \dfrac{1}{{12}} < 0$ nên $x =  - \dfrac{1}{6}$ không thuộc tập nghiệm.

Với $x =  - \dfrac{1}{2}$ thì $3.{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{4} > 0$ nên $x =  - \dfrac{1}{2}$ thuộc tập nghiệm.

Ta có: $S = \left\{ {x \in R, - 2 < x < 4} \right\} = \left( { - 2;4} \right)$

Do đó A sai.

Đáp án B sai vì $\left\{ 0 \right\}$ là một tập hợp thì không có quan hệ thuộc một tập hợp khác.

Đáp án D sai vì $S = \left( { - 2;4} \right)$ chứ không phải chỉ gồm hai phần tử $- 2;4$.

Bất phương trình xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\1 - 2x \ge 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{2}.$

Bất phương trình xác định khi$\left\{ \begin{array}{l}x + 5 > 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 5\\x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 5 < x \le 4.$

Bất phương trình xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x \ne 2\end{array} \right..$

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x - m \ge 0\\6 - 2x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\x \le 3\end{array} \right..$

Nếu $m > 3$ thì tập xác định của hàm số là $D = \emptyset .$

Nếu $m \le 3$ thì tập xác định của hàm số là $D = \left[ {m;3} \right].$

Điều kiện:$x \ne 2$.

Bất phương trình tương đương với: $2x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}$(thỏa mãn điều kiện).

Ta xét từng bất phương trình trong đáp án A:

    $x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2.$

    ${x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow x \le 2.$

Cả hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương.

Đáp án B:

$\begin{array}{l}x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\\{x^2}\left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2\end{array}$

Do đó hai bất phương trình không tương đương.

Đáp án C:

$\begin{array}{l}x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\\{x^2}\left( {x - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x \ne 0\end{array} \right.\end{array}$

Do đó hai bất phương trình không có cùng tập nghiệm.

Đáp án D:

$x - 2 \ge 0\Leftrightarrow x \ge 2$

${x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x = 0\end{array} \right.$

Do đó hai bất phương trình không cùng tập nghiệm.