Cho bất phương trình \({x^2} + 3x < 0\), giá trị nào của \(x\) dưới đây thuộc tập nghiệm của bất phương trình?
Với \(x = 1\) thì \({1^2} + 3.1 > 0\) nên \(x = 1\) không thuộc tập nghiệm.
Với \(x = - 3\) thì \({\left( { - 3} \right)^2} + 3.\left( { - 3} \right) = 0\) nên \(x = - 3\) không thuộc tập nghiệm.
Với \(x = 0\) thì \({0^2} + 3.0 = 0\) nên \(x = 0\) không thuộc tập nghiệm.
Với \(x = - 1\) thì \({\left( { - 1} \right)^2} + 3.\left( { - 1} \right) = - 2 < 0\) đúng nên \(x = - 1\) thuộc tập nghiệm.
Gọi \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình \( - 2 \le x \le 4\). Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(S = \left\{ {x \in R, - 2 \le x \ne 4} \right\} = \left[ { - 2;4} \right]\)
Điều kiện xác định của bất phương trình \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \le 0\) là:
Điều kiện xác định: \(x \ge 0\).
Tìm tập xác định của bất phương trình $\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {x - 5} }} \le 2 - \sqrt {4 - x} .$
Bất phương trình xác định khi\(\left\{ \begin{array}{l}x - 5 > 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 5\\x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset .\)
Tìm tập xác định của bất phương trình $\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} < x + 1.$
Bất phương trình xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \ge 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {x - m} - \sqrt {6 - 2x} \) có tập xác định là rỗng.
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - m \ge 0\\6 - 2x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\x \le 3\end{array} \right..\)
- Nếu \(m > 3\) thì tập xác định của hàm số là \(D = \emptyset .\)
- Nếu \(m \le 3\) thì tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {m;3} \right].\)
Bất phương trình \(2x + \dfrac{3}{{2x - 4}} < 5 + \dfrac{3}{{2x - 4}}\) tương đương với:
Điều kiện:\(x \ne 2.\)
Bất phương trình tương đương với: \(2x < 5 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}\).
Kết hợp với điều kiện ta có \(x < \dfrac{5}{2}\) và \(x \ne 2\).
Bất phương trình \(2x - 1 \ge 0\) tương đương với bất phương trình nào sau đây?
Nếu ta cộng \(\dfrac{1}{{x - 3}}\) vào hai vế bất phương trình \(2x - 1 \ge 0\) thì điều kiện của bất phương trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai.
Tương tự nếu ta nhân hoặc chia hai vế bất phương trình đã cho với \(\sqrt {x - 2018} \) thì điều kiện của bất phương trình ban đầu cũng sẽ thay đổi suy ra đáp án C và D sai.
Bất phương trình \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \le 0\) tương đương với
Bất phương trình \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \le 0\) có điều kiện \(x \ge 0\).
Khi đó \(x+1>0\) nên bpt \( \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có: \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \le 0 \Leftrightarrow x{\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\end{array} \right..\) Đáp án A sai.
Ta có: \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x < 0\) vô nghiệm vì từ điều kiện \(x \ge 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt x \ge 0\). Đáp án B sai.
Ta có: \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \le 0 \Leftrightarrow x = 0.\) Đáp án C đúng.
Bpt đáp án D vô nghiệm vì \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \ge 0\) với mọi x.
Bất phương trình \(\sqrt {x - 1} \ge x\) tương đương với
Bất phương trình $\sqrt {x - 1} \ge x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 1 \ge {x^2}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $
Ta có: \(\left( {1 - 2x} \right)\sqrt {x - 1} \ge x\left( {1 - 2x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1} \le x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)
Đáp án A sai.
Ta có: \(\left( {2x + 1} \right)\sqrt {x - 1} \ge x\left( {2x + 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1} \ge x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset \)
Đáp án B đúng.
Với giá trị nào của $m$ thì hai bất phương trình $\left( {m + 3} \right)x \ge 3m - 6$ và $\left( {2m - 1} \right)x \le m + 2$ tương đương:
- Thay \(m = 1\), thì hệ số của \(x\) ở \(\left( 1 \right)\) dương, hệ số của \(x\) ở \(\left( 2 \right)\) dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa.
- Thay \(m = 0\), ta được $\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 3} \right)x \ge 3m - 6 \Rightarrow 3x \ge - 6 \leftrightarrow x \ge - 2\\\left( {2m - 1} \right)x \le m + 2 \Rightarrow - x \le 2 \leftrightarrow x \ge - 2\end{array} \right.$. Ta thấy thỏa mãn nhưng chưa đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án D cũng có \(m = 0\). Ta thử tiếp \(m = 4\).
- Thay \(m = 4\), thì hệ số của \(x\) ở \(\left( 1 \right)\) dương, hệ số của \(x\) ở \(\left( 2 \right)\) dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa mãn.
Vậy với \(m = 0\) thỏa mãn.
Phương trình xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ne 1\end{array} \right..\)
Cho bất phương trình \(3{x^2} + x > 0\), giá trị nào của \(x\) dưới đây không thuộc tập nghiệm của bất phương trình?
Với \(x = 1\) thì \({3.1^2} + 1 > 0\) đúng nên \(x = 1\) thuộc tập nghiệm.
Với \(x = - 3\) thì \(3.{\left( { - 3} \right)^2} + \left( { - 3} \right) = 24 > 0\) đúng nên \(x = -3\) thuộc tập nghiệm.
Với \(x = - \dfrac{1}{6}\) thì \(3.{\left( { - \dfrac{1}{6}} \right)^2} + \left( { - \dfrac{1}{6}} \right) = - \dfrac{1}{{12}} < 0\) nên \(x = - \dfrac{1}{6}\) không thuộc tập nghiệm.
Với \(x = - \dfrac{1}{2}\) thì \(3.{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{4} > 0\) nên \(x = - \dfrac{1}{2}\) thuộc tập nghiệm.
Gọi \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình \( - 2 < x < 4\). Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(S = \left\{ {x \in R, - 2 < x < 4} \right\} = \left( { - 2;4} \right)\)
Do đó A sai.
Đáp án B sai vì \(\left\{ 0 \right\}\) là một tập hợp thì không có quan hệ thuộc một tập hợp khác.
Đáp án D sai vì \(S = \left( { - 2;4} \right)\) chứ không phải chỉ gồm hai phần tử \( - 2;4\).
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình $\sqrt {2 - x} + x < 2 + \sqrt {1 - 2x} .$
Bất phương trình xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\1 - 2x \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{2}.\)
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình $x + \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 5} }} > 2 - \sqrt {4 - x} .$
Bất phương trình xác định khi\(\left\{ \begin{array}{l}x + 5 > 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 5\\x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 < x \le 4.\)
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình $\sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} < x + 1.$
Bất phương trình xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {x - m} - \sqrt {6 - 2x} \) có tập xác định khác rỗng.
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - m \ge 0\\6 - 2x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\x \le 3\end{array} \right..\)
Nếu \(m > 3\) thì tập xác định của hàm số là \(D = \emptyset .\)
Nếu \(m \le 3\) thì tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {m;3} \right].\)
Bất phương trình \(2x + \dfrac{3}{{2x - 4}} < 3 + \dfrac{3}{{2x - 4}}\) tương đương với
Điều kiện:\(x \ne 2\).
Bất phương trình tương đương với: \(2x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}\)(thỏa mãn điều kiện).
Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
Ta xét từng bất phương trình trong đáp án A:
$x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2.$
${x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow x \le 2.$
Cả hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương.
Đáp án B:
$\begin{array}{l}x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\\{x^2}\left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2\end{array}$
Do đó hai bất phương trình không tương đương.
Đáp án C:
$\begin{array}{l}x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\\{x^2}\left( {x - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x \ne 0\end{array} \right.\end{array}$
Do đó hai bất phương trình không có cùng tập nghiệm.
Đáp án D:
$x - 2 \ge 0\Leftrightarrow x \ge 2$
${x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x = 0\end{array} \right.$
Do đó hai bất phương trình không cùng tập nghiệm.
