Một số công thức biến đổi lượng giác

Câu 1 Trắc nghiệm

Cho \(\sin a + \cos a = \dfrac{5}{4}\). Khi đó \(\sin a.\cos a\) có giá trị bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \(\sin a + \cos a = \dfrac{5}{4}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{16}}\) \( \Leftrightarrow 1 + 2\sin a\cos a = \dfrac{{25}}{{16}} \) \(\Leftrightarrow \sin a\cos a = \dfrac{9}{{32}}\)

Câu 2 Trắc nghiệm

Biết \(\sin \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) và \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Tính giá trị của \(\cos \left( {2\alpha  - \dfrac{\pi }{3}} \right)\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Dễ thấy với \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \\\sin \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \alpha  = \dfrac{{2\pi }}{3} \Rightarrow 2\alpha  = \dfrac{{4\pi }}{3}\) \( \Rightarrow \cos \left( {2\alpha  - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \pi  =  - 1\)

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho \(\cos \alpha  = \dfrac{1}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{{\sin 3\alpha  - \sin \alpha }}{{\sin 2\alpha }}\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \(P = \dfrac{{\sin 3\alpha  - \sin \alpha }}{{\sin 2\alpha }} = \dfrac{{2.\cos 2\alpha .\sin \alpha }}{{2.\sin \alpha .\cos \alpha }} = \dfrac{{\cos 2\alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{2.{{\cos }^2}\alpha  - 1}}{{\cos \alpha }} =  - \dfrac{7}{3}\).

Câu 4 Trắc nghiệm

Tính giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{{\sin 2a.\sin a}}{{1 + \cos 2a}}\) biết \(\cos a =  - \dfrac{2}{3}\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \(P = \dfrac{{\sin 2a.\sin a}}{{1 + \cos 2a}} = \dfrac{{2\sin a\cos a.\sin a}}{{2{{\cos }^2}a}}\) \( = \dfrac{{2{{\sin }^2}a\cos a}}{{2{{\cos }^2}a}} = \dfrac{{2\cos a\left( {1 - {{\cos }^2}a} \right)}}{{2{{\cos }^2}a}} =  - \dfrac{5}{6}\)

Câu 5 Trắc nghiệm

Giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) + 1}}{{{{\cos }^2}a + {{\cos }^2}b}}\) là

 
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Thực nghiệm \(T = \dfrac{{\cos \left( {\pi  + 0} \right)\cos \left( {\pi  - 0} \right) + 1}}{{{{\cos }^2}\pi  + {{\cos }^2}0}} = 1\)

Tự luận:

\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) + 1}}{{{{\cos }^2}a + {{\cos }^2}b}}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left\{ {\cos \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] + \cos \left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right)} \right]} \right\} + 1}}{{{{\cos }^2}a + {{\cos }^2}b}}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) + 1}}{{{{\cos }^2}a + {{\cos }^2}b}}\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) + 2}}{{{{\cos }^2}a + {{\cos }^2}b}}\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{(\cos 2a + 1) + (\cos 2b + 1)}}{{{{\cos }^2}a + {{\cos }^2}b}}\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2{{\cos }^2}a + 2{{\cos }^2}b}}{{{{\cos }^2}a + {{\cos }^2}b}} = 1\end{array}\)

 
 
Câu 6 Trắc nghiệm

Cho biểu thức: \(A = {\sin ^2}\left( {a + b} \right) - {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\). Chọn đáp án đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: \(A = {\left( {\sin a\cos b + \cos a\sin b} \right)^2} - {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\)

\(\begin{array}{l} = {\sin ^2}a{\cos ^2}b + 2\sin a\cos a\sin b\cos b + {\cos ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\ = {\sin ^2}a\left( {{{\cos }^2}b - 1} \right) + {\sin ^2}b\left( {{{\cos }^2}a - 1} \right) + 2\sin a\cos a\sin b\cos b\\ = 2\sin a\cos a\sin b\cos b - 2{\sin ^2}a{\sin ^2}b\\ = 2\sin a\sin b\left( {\cos a\cos b - \sin a\sin b} \right) = 2\sin a\sin b\cos \left( {a + b} \right)\end{array}\)

Câu 7 Trắc nghiệm

Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {\sin a + \sin b} \right)^2} + {\left( {\cos a + \cos b} \right)^2}\) biết \(a - b = \dfrac{\pi }{4}\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có \(P = {\left( {\sin a + \sin b} \right)^2} + {\left( {\cos a + \cos b} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\sin ^2}a + 2\sin a\sin b + {\sin ^2}b + {\cos ^2}a + 2\cos a\cos b + {\cos ^2}b\\ = 2 + 2\left( {\sin a.\sin b + \cos a.\cos b} \right)\\ = 2 + 2.\cos \left( {a - b} \right) = 2 + 2\cos \dfrac{\pi }{4} = 2 + \sqrt 2 \end{array}\)

Câu 8 Trắc nghiệm

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2b - \cos 2a} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {2{{\cos }^2}b - 1} \right) - \left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right)} \right] = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\).

Câu 9 Trắc nghiệm

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha  = 2\). Tính giá trị biểu thức \(P = \dfrac{{1 + \cos \alpha  + \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha  + \sin 2\alpha }}\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \(P = \dfrac{{1 + \cos \alpha  + \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha  + \sin 2\alpha }}\) \( = \dfrac{{2{{\cos }^2}\alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  + 2\sin \alpha .\cos \alpha }} \) \(= \dfrac{{\cos \alpha \left( {1 + 2\cos \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {1 + 2\cos \alpha } \right)}} \) \(= \cot \alpha  = \dfrac{1}{2}\)

Câu 10 Trắc nghiệm
Cho \(\cos \alpha  =  - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\) và  \(\pi  < \alpha  < \dfrac{{3\pi }}{2}\). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \(\cos \alpha  =  - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \dfrac{4}{5}\)\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}\)

Do \(\pi  < \alpha  < \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\)\( \Rightarrow \sin \alpha  =  - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{1}{2}\)

Câu 11 Trắc nghiệm

Tính \(\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7}\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{\pi }{7}\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{7}\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{\pi }{7}\sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{\pi }{7}\sin \dfrac{{6\pi }}{7}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{3\pi }}{7}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{7} - \cos \dfrac{{5\pi }}{7}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{5\pi }}{7} - \cos \dfrac{{7\pi }}{7}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{1}{2} = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}}\\\sin \dfrac{\pi }{7} = 2\sin \dfrac{\pi }{{14}}\cos \dfrac{\pi }{{14}} \Rightarrow \left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7}} \right) = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}}\end{array}\)

Câu 12 Trắc nghiệm
Cho \(\tan a = 2\). Khi đó giá trị của biểu thức \(M = \dfrac{{\sin a}}{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}}\) là:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

\(M = \dfrac{{\sin a}}{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}} \Rightarrow \dfrac{1}{M} = \dfrac{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}}{{\sin a}} = {\sin ^2}a + 2\dfrac{{{{\cos }^3}a}}{{\sin a}}\)

Do \(\tan a = \dfrac{{\sin a}}{{\cos a}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{\cos a}}{{\sin a}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{M} = {\sin ^2}a + 2.\dfrac{1}{2}.{\cos ^2}a = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)

\( \Rightarrow M = 1\)

Câu 13 Trắc nghiệm

Với mọi a, biểu thức : $A = \cos \alpha {\rm{ + }}\cos \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right)$  nhận giá trị bằng :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

$A = \cos \alpha {\rm{ + }}\cos \left( {\alpha  + \dfrac{\pi }{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right)$$A = \left[ {\cos \alpha  + \cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right)} \right] + ... + \left[ {\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{4\pi }}{5}} \right) + \cos \left( {\alpha  + \dfrac{{5\pi }}{5}} \right)} \right]$$A = 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\cos \dfrac{{9\pi }}{{10}} + 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\cos \dfrac{{7\pi }}{{10}} + ... + 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\cos \dfrac{\pi }{{10}}$$A = 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\left( {\cos \dfrac{{9\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{\pi }{{10}}} \right)$$A = 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\left( {2\cos \dfrac{\pi }{2}\cos \dfrac{{2\pi }}{5} + 2\cos \dfrac{\pi }{2}\cos \dfrac{\pi }{5} + \cos \dfrac{\pi }{2}} \right)$$ \Leftrightarrow A = 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right).0 = 0.$

Câu 14 Trắc nghiệm

Cho \(H = \dfrac{{\sin {{15}^0} + \sin {{45}^0} + \sin {{75}^0}}}{{\cos {{15}^0} + \cos {\rm{4}}{{\rm{5}}^0} + \cos {\rm{7}}{{\rm{5}}^0}}}\). Khi đó:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(A = \dfrac{{\sin {{15}^o} + \sin {{45}^o} + \sin {{75}^o}}}{{\cos {{15}^o} + \cos {{45}^o} + \cos {{75}^o}}}\)\( = \dfrac{{\left( {\sin {{15}^o} + \sin {{75}^o}} \right) + \sin {{45}^o}}}{{\left( {\cos {{15}^o} + \cos {{75}^o}} \right) + \cos {{45}^o}}}\)\( = \dfrac{{2\sin {{45}^o}.\cos {{30}^o} + \sin {{45}^o}}}{{2\cos {{45}^o}.\cos {{30}^o} + \cos {{45}^o}}}\)

\(\,\,\,\, = \dfrac{{\sin {{45}^o}\left( {2\cos {{30}^o} + 1} \right)}}{{\cos {{45}^o}\left( {2\cos {{30}^o} + 1} \right)}} = \dfrac{{\sin {{45}^o}}}{{\cos {{45}^o}}}\)\( = \tan {45^o} = 1\)

Câu 15 Trắc nghiệm

Giá trị của biểu thức \({\cos ^3}x\cos 3x - {\sin ^3}x\sin 3x - \dfrac{3}{4}\cos 4x\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Thực nghiệm \({\cos ^3}\pi \cos 3\pi  - {\sin ^3}\pi \sin 3\pi  - \dfrac{3}{4}\cos 4\pi  = \dfrac{1}{4}\)

Câu 16 Trắc nghiệm
Cho  \(\sin 2\alpha  = a\)  với  \({0^0} < \alpha  < {90^0}.\) Giá trị \(\sin \alpha  + \cos \alpha \)  bằng:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha \;} \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  = 1 + \sin 2\alpha  = 1 + a\)

Vì  \({0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow {0^o} < 2\alpha  < {180^o} \Rightarrow a > 0 \Rightarrow 1 + a > 0\)

Mặt khác \({0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow \sin \alpha  + \cos \alpha  > 0 \Rightarrow \sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt {a + 1} \)

Câu 17 Trắc nghiệm

Giá trị của biểu thức $A = {\sin ^2}\dfrac{\pi }{8} + {\sin ^2}\dfrac{{3\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{8}$ bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

\(A = \dfrac{{1 - \cos \dfrac{\pi }{4}}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \dfrac{{3\pi }}{4}}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \dfrac{{5\pi }}{4}}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \dfrac{{7\pi }}{4}}}{2}\)\( = 2 - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos \dfrac{{3\pi }}{4} + \cos \dfrac{{5\pi }}{4} + \cos \dfrac{{7\pi }}{4}} \right)\)\( = 2 - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos \dfrac{{3\pi }}{4} - \cos \dfrac{{3\pi }}{4} - \cos \dfrac{\pi }{4}} \right) = 2.\)

Câu 18 Trắc nghiệm

Cho biểu thức \(A = {\cos ^2}\left( {x - a} \right) + {\cos ^2}x - 2\cos a\cos x\cos \left( {a - x} \right)\). Rút gọn biểu thức A ta được

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(A = \cos \left( {x - a} \right)\left[ {\cos \left( {x - a} \right) - 2\cos a\cos x} \right] + {\cos ^2}x\)

\(\begin{array}{l} = \cos \left( {x - a} \right)\left( { - \cos x\cos a + \sin x\sin a} \right) + {\cos ^2}x =  - \cos \left( {x - a} \right).\cos \left( {x + a} \right) + {\cos ^2}x\\ =  - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos 2a} \right) + \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{{1 - \cos 2a}}{2} = {\sin ^2}a\end{array}\)

Câu 19 Trắc nghiệm
Cho \(\sin \alpha  = 0,6\) và  \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi .\) Khi đó \(\cos 2\alpha \) bằng:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: \(\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 1 - {2.0,6^2} = 0,28\)

Câu 20 Trắc nghiệm

Tính \(C = \cos \dfrac{{2\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{4\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{6\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{8\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{10\pi }}{{11}}\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Với $k = 1,2,3,4,5$  ta có

\(\cos \dfrac{{\left( {2k} \right)\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow C.\sin \dfrac{\pi }{{11}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{\pi }{{11}}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{3\pi }}{{11}}} \right) + ... + \left( {\sin \dfrac{{11\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{9\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ =  - \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\\ \Rightarrow C =  - \dfrac{1}{2}\end{array}\)