Cho sina+cosa=54. Khi đó sina.cosa có giá trị bằng
Ta có sina+cosa=54 ⇔(sina+cosa)2=2516 ⇔1+2sinacosa=2516 ⇔sinacosa=932
Biết sinα=√32 và π2<α<π. Tính giá trị của cos(2α−π3).
Dễ thấy với {π2<α<πsinα=√32 ⇒α=2π3⇒2α=4π3 ⇒cos(2α−π3)=cosπ=−1
Cho cosα=13. Tính giá trị của biểu thức P=sin3α−sinαsin2α.
Ta có P=sin3α−sinαsin2α=2.cos2α.sinα2.sinα.cosα=cos2αcosα=2.cos2α−1cosα=−73.
Tính giá trị của biểu thức P=sin2a.sina1+cos2a biết cosa=−23.
Ta có P=sin2a.sina1+cos2a=2sinacosa.sina2cos2a =2sin2acosa2cos2a=2cosa(1−cos2a)2cos2a=−56
Giá trị của biểu thức T=cos(a+b)cos(a−b)+1cos2a+cos2b là
Thực nghiệm T=cos(π+0)cos(π−0)+1cos2π+cos20=1
Tự luận:
T=cos(a+b)cos(a−b)+1cos2a+cos2b=12{cos[(a+b)+(a−b)]+cos[(a+b)−(a−b)]}+1cos2a+cos2b=12(cos2a+cos2b)+1cos2a+cos2b=12.(cos2a+cos2b)+2cos2a+cos2b=12.(cos2a+1)+(cos2b+1)cos2a+cos2b=12.2cos2a+2cos2bcos2a+cos2b=1
Cho biểu thức: A=sin2(a+b)−sin2a−sin2b. Chọn đáp án đúng:
Ta có: A=(sinacosb+cosasinb)2−sin2a−sin2b
=sin2acos2b+2sinacosasinbcosb+cos2asin2b−sin2a−sin2b=sin2a(cos2b−1)+sin2b(cos2a−1)+2sinacosasinbcosb=2sinacosasinbcosb−2sin2asin2b=2sinasinb(cosacosb−sinasinb)=2sinasinbcos(a+b)
Tính giá trị biểu thức P=(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2 biết a−b=π4.
Ta có P=(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2
=sin2a+2sinasinb+sin2b+cos2a+2cosacosb+cos2b=2+2(sina.sinb+cosa.cosb)=2+2.cos(a−b)=2+2cosπ4=2+√2
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Ta có sin(a+b)sin(a−b)=12(cos2b−cos2a)
=12[(2cos2b−1)−(2cos2a−1)]=cos2b−cos2a.
Cho góc α thỏa mãn tanα=2. Tính giá trị biểu thức P=1+cosα+cos2αsinα+sin2α.
Ta có P=1+cosα+cos2αsinα+sin2α =2cos2α+cosαsinα+2sinα.cosα =cosα(1+2cosα)sinα(1+2cosα) =cotα=12
Ta có cosα=−2√5⇒cos2α=45⇒sin2α=1−45=15
Do π<α<3π2⇒sinα<0⇒sinα=−1√5⇒tanα=sinαcosα=12
Tính sin2π7+sin4π7+sin6π7
Ta có:
sinπ7(sin2π7+sin4π7+sin6π7)=sinπ7sin2π7+sinπ7sin4π7+sinπ7sin6π7=12(cosπ7−cos3π7)+12(cos3π7−cos5π7)+12(cos5π7−cos7π7)=12cosπ7+12=cos2π14sinπ7=2sinπ14cosπ14⇒(sin2π7+sin4π7+sin6π7)=12cotπ14
M = \dfrac{{\sin a}}{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}} \Rightarrow \dfrac{1}{M} = \dfrac{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}}{{\sin a}} = {\sin ^2}a + 2\dfrac{{{{\cos }^3}a}}{{\sin a}}
Do \tan a = \dfrac{{\sin a}}{{\cos a}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{\cos a}}{{\sin a}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{M} = {\sin ^2}a + 2.\dfrac{1}{2}.{\cos ^2}a = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1
\Rightarrow M = 1
Với mọi a, biểu thức : A = \cos \alpha {\rm{ + }}\cos \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right) nhận giá trị bằng :
A = \cos \alpha {\rm{ + }}\cos \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right)A = \left[ {\cos \alpha + \cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right)} \right] + ... + \left[ {\cos \left( {\alpha + \dfrac{{4\pi }}{5}} \right) + \cos \left( {\alpha + \dfrac{{5\pi }}{5}} \right)} \right]A = 2\cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\cos \dfrac{{9\pi }}{{10}} + 2\cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\cos \dfrac{{7\pi }}{{10}} + ... + 2\cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\cos \dfrac{\pi }{{10}}A = 2\cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\left( {\cos \dfrac{{9\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{\pi }{{10}}} \right)A = 2\cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\left( {2\cos \dfrac{\pi }{2}\cos \dfrac{{2\pi }}{5} + 2\cos \dfrac{\pi }{2}\cos \dfrac{\pi }{5} + \cos \dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow A = 2\cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right).0 = 0.
Cho H = \dfrac{{\sin {{15}^0} + \sin {{45}^0} + \sin {{75}^0}}}{{\cos {{15}^0} + \cos {\rm{4}}{{\rm{5}}^0} + \cos {\rm{7}}{{\rm{5}}^0}}}. Khi đó:
A = \dfrac{{\sin {{15}^o} + \sin {{45}^o} + \sin {{75}^o}}}{{\cos {{15}^o} + \cos {{45}^o} + \cos {{75}^o}}} = \dfrac{{\left( {\sin {{15}^o} + \sin {{75}^o}} \right) + \sin {{45}^o}}}{{\left( {\cos {{15}^o} + \cos {{75}^o}} \right) + \cos {{45}^o}}} = \dfrac{{2\sin {{45}^o}.\cos {{30}^o} + \sin {{45}^o}}}{{2\cos {{45}^o}.\cos {{30}^o} + \cos {{45}^o}}}
\,\,\,\, = \dfrac{{\sin {{45}^o}\left( {2\cos {{30}^o} + 1} \right)}}{{\cos {{45}^o}\left( {2\cos {{30}^o} + 1} \right)}} = \dfrac{{\sin {{45}^o}}}{{\cos {{45}^o}}} = \tan {45^o} = 1
Giá trị của biểu thức {\cos ^3}x\cos 3x - {\sin ^3}x\sin 3x - \dfrac{3}{4}\cos 4x.
Thực nghiệm {\cos ^3}\pi \cos 3\pi - {\sin ^3}\pi \sin 3\pi - \dfrac{3}{4}\cos 4\pi = \dfrac{1}{4}
Ta có: {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha \;} \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + \sin 2\alpha = 1 + a
Vì {0^o} < \alpha < {90^o} \Rightarrow {0^o} < 2\alpha < {180^o} \Rightarrow a > 0 \Rightarrow 1 + a > 0
Mặt khác {0^o} < \alpha < {90^o} \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt {a + 1}
Giá trị của biểu thức A = {\sin ^2}\dfrac{\pi }{8} + {\sin ^2}\dfrac{{3\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{8} bằng
A = \dfrac{{1 - \cos \dfrac{\pi }{4}}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \dfrac{{3\pi }}{4}}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \dfrac{{5\pi }}{4}}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \dfrac{{7\pi }}{4}}}{2} = 2 - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos \dfrac{{3\pi }}{4} + \cos \dfrac{{5\pi }}{4} + \cos \dfrac{{7\pi }}{4}} \right) = 2 - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos \dfrac{{3\pi }}{4} - \cos \dfrac{{3\pi }}{4} - \cos \dfrac{\pi }{4}} \right) = 2.
Cho biểu thức A = {\cos ^2}\left( {x - a} \right) + {\cos ^2}x - 2\cos a\cos x\cos \left( {a - x} \right). Rút gọn biểu thức A ta được
Ta có: A = \cos \left( {x - a} \right)\left[ {\cos \left( {x - a} \right) - 2\cos a\cos x} \right] + {\cos ^2}x
\begin{array}{l} = \cos \left( {x - a} \right)\left( { - \cos x\cos a + \sin x\sin a} \right) + {\cos ^2}x = - \cos \left( {x - a} \right).\cos \left( {x + a} \right) + {\cos ^2}x\\ = - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos 2a} \right) + \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{{1 - \cos 2a}}{2} = {\sin ^2}a\end{array}
Ta có: \cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - {2.0,6^2} = 0,28
Tính C = \cos \dfrac{{2\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{4\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{6\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{8\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{10\pi }}{{11}}
Với k = 1,2,3,4,5 ta có
\cos \dfrac{{\left( {2k} \right)\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}} \right]
\begin{array}{l} \Rightarrow C.\sin \dfrac{\pi }{{11}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{\pi }{{11}}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{3\pi }}{{11}}} \right) + ... + \left( {\sin \dfrac{{11\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{9\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ = - \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\\ \Rightarrow C = - \dfrac{1}{2}\end{array}