Một số công thức biến đổi lượng giác

  •   
Câu 1 Trắc nghiệm

Cho sina+cosa=54. Khi đó sina.cosa có giá trị bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có sina+cosa=54 (sina+cosa)2=2516 1+2sinacosa=2516 sinacosa=932

Câu 2 Trắc nghiệm

Biết sinα=32π2<α<π. Tính giá trị của cos(2απ3).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Dễ thấy với {π2<α<πsinα=32 α=2π32α=4π3 cos(2απ3)=cosπ=1

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho cosα=13. Tính giá trị của biểu thức P=sin3αsinαsin2α.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có P=sin3αsinαsin2α=2.cos2α.sinα2.sinα.cosα=cos2αcosα=2.cos2α1cosα=73.

Câu 4 Trắc nghiệm

Tính giá trị của biểu thức P=sin2a.sina1+cos2a biết cosa=23.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có P=sin2a.sina1+cos2a=2sinacosa.sina2cos2a =2sin2acosa2cos2a=2cosa(1cos2a)2cos2a=56

Câu 5 Trắc nghiệm

Giá trị của biểu thức T=cos(a+b)cos(ab)+1cos2a+cos2b

 
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Thực nghiệm T=cos(π+0)cos(π0)+1cos2π+cos20=1

Tự luận:

T=cos(a+b)cos(ab)+1cos2a+cos2b=12{cos[(a+b)+(ab)]+cos[(a+b)(ab)]}+1cos2a+cos2b=12(cos2a+cos2b)+1cos2a+cos2b=12.(cos2a+cos2b)+2cos2a+cos2b=12.(cos2a+1)+(cos2b+1)cos2a+cos2b=12.2cos2a+2cos2bcos2a+cos2b=1

 
 
Câu 6 Trắc nghiệm

Cho biểu thức: A=sin2(a+b)sin2asin2b. Chọn đáp án đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: A=(sinacosb+cosasinb)2sin2asin2b

=sin2acos2b+2sinacosasinbcosb+cos2asin2bsin2asin2b=sin2a(cos2b1)+sin2b(cos2a1)+2sinacosasinbcosb=2sinacosasinbcosb2sin2asin2b=2sinasinb(cosacosbsinasinb)=2sinasinbcos(a+b)

Câu 7 Trắc nghiệm

Tính giá trị biểu thức P=(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2 biết ab=π4.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có P=(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2

=sin2a+2sinasinb+sin2b+cos2a+2cosacosb+cos2b=2+2(sina.sinb+cosa.cosb)=2+2.cos(ab)=2+2cosπ4=2+2

Câu 8 Trắc nghiệm

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có sin(a+b)sin(ab)=12(cos2bcos2a)

=12[(2cos2b1)(2cos2a1)]=cos2bcos2a.

Câu 9 Trắc nghiệm

Cho góc α thỏa mãn tanα=2. Tính giá trị biểu thức P=1+cosα+cos2αsinα+sin2α.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có P=1+cosα+cos2αsinα+sin2α =2cos2α+cosαsinα+2sinα.cosα =cosα(1+2cosα)sinα(1+2cosα) =cotα=12

Câu 10 Trắc nghiệm
Cho cosα=25 và  π<α<3π2. Khi đó tanα bằng:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có cosα=25cos2α=45sin2α=145=15

Do π<α<3π2sinα<0sinα=15tanα=sinαcosα=12

Câu 11 Trắc nghiệm

Tính sin2π7+sin4π7+sin6π7

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có:

sinπ7(sin2π7+sin4π7+sin6π7)=sinπ7sin2π7+sinπ7sin4π7+sinπ7sin6π7=12(cosπ7cos3π7)+12(cos3π7cos5π7)+12(cos5π7cos7π7)=12cosπ7+12=cos2π14sinπ7=2sinπ14cosπ14(sin2π7+sin4π7+sin6π7)=12cotπ14

Câu 12 Trắc nghiệm
Cho \tan a = 2. Khi đó giá trị của biểu thức M = \dfrac{{\sin a}}{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}} là:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

M = \dfrac{{\sin a}}{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}} \Rightarrow \dfrac{1}{M} = \dfrac{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}}{{\sin a}} = {\sin ^2}a + 2\dfrac{{{{\cos }^3}a}}{{\sin a}}

Do \tan a = \dfrac{{\sin a}}{{\cos a}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{\cos a}}{{\sin a}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{M} = {\sin ^2}a + 2.\dfrac{1}{2}.{\cos ^2}a = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1

\Rightarrow M = 1

Câu 13 Trắc nghiệm

Với mọi a, biểu thức : A = \cos \alpha {\rm{ + }}\cos \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right)  nhận giá trị bằng :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

A = \cos \alpha {\rm{ + }}\cos \left( {\alpha  + \dfrac{\pi }{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right)A = \left[ {\cos \alpha  + \cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right)} \right] + ... + \left[ {\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{4\pi }}{5}} \right) + \cos \left( {\alpha  + \dfrac{{5\pi }}{5}} \right)} \right]A = 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\cos \dfrac{{9\pi }}{{10}} + 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\cos \dfrac{{7\pi }}{{10}} + ... + 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\cos \dfrac{\pi }{{10}}A = 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\left( {\cos \dfrac{{9\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{10}} + \cos \dfrac{\pi }{{10}}} \right)A = 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right)\left( {2\cos \dfrac{\pi }{2}\cos \dfrac{{2\pi }}{5} + 2\cos \dfrac{\pi }{2}\cos \dfrac{\pi }{5} + \cos \dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow A = 2\cos \left( {\alpha  + \dfrac{{9\pi }}{{10}}} \right).0 = 0.

Câu 14 Trắc nghiệm

Cho H = \dfrac{{\sin {{15}^0} + \sin {{45}^0} + \sin {{75}^0}}}{{\cos {{15}^0} + \cos {\rm{4}}{{\rm{5}}^0} + \cos {\rm{7}}{{\rm{5}}^0}}}. Khi đó:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

A = \dfrac{{\sin {{15}^o} + \sin {{45}^o} + \sin {{75}^o}}}{{\cos {{15}^o} + \cos {{45}^o} + \cos {{75}^o}}} = \dfrac{{\left( {\sin {{15}^o} + \sin {{75}^o}} \right) + \sin {{45}^o}}}{{\left( {\cos {{15}^o} + \cos {{75}^o}} \right) + \cos {{45}^o}}} = \dfrac{{2\sin {{45}^o}.\cos {{30}^o} + \sin {{45}^o}}}{{2\cos {{45}^o}.\cos {{30}^o} + \cos {{45}^o}}}

\,\,\,\, = \dfrac{{\sin {{45}^o}\left( {2\cos {{30}^o} + 1} \right)}}{{\cos {{45}^o}\left( {2\cos {{30}^o} + 1} \right)}} = \dfrac{{\sin {{45}^o}}}{{\cos {{45}^o}}} = \tan {45^o} = 1

Câu 15 Trắc nghiệm

Giá trị của biểu thức {\cos ^3}x\cos 3x - {\sin ^3}x\sin 3x - \dfrac{3}{4}\cos 4x.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Thực nghiệm {\cos ^3}\pi \cos 3\pi  - {\sin ^3}\pi \sin 3\pi  - \dfrac{3}{4}\cos 4\pi  = \dfrac{1}{4}

Câu 16 Trắc nghiệm
Cho  \sin 2\alpha  = a  với  {0^0} < \alpha  < {90^0}. Giá trị \sin \alpha  + \cos \alpha   bằng:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha \;} \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  = 1 + \sin 2\alpha  = 1 + a

Vì  {0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow {0^o} < 2\alpha  < {180^o} \Rightarrow a > 0 \Rightarrow 1 + a > 0

Mặt khác {0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow \sin \alpha  + \cos \alpha  > 0 \Rightarrow \sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt {a + 1}

Câu 17 Trắc nghiệm

Giá trị của biểu thức A = {\sin ^2}\dfrac{\pi }{8} + {\sin ^2}\dfrac{{3\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{8} bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

A = \dfrac{{1 - \cos \dfrac{\pi }{4}}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \dfrac{{3\pi }}{4}}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \dfrac{{5\pi }}{4}}}{2} + \dfrac{{1 - \cos \dfrac{{7\pi }}{4}}}{2} = 2 - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos \dfrac{{3\pi }}{4} + \cos \dfrac{{5\pi }}{4} + \cos \dfrac{{7\pi }}{4}} \right) = 2 - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos \dfrac{{3\pi }}{4} - \cos \dfrac{{3\pi }}{4} - \cos \dfrac{\pi }{4}} \right) = 2.

Câu 18 Trắc nghiệm

Cho biểu thức A = {\cos ^2}\left( {x - a} \right) + {\cos ^2}x - 2\cos a\cos x\cos \left( {a - x} \right). Rút gọn biểu thức A ta được

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: A = \cos \left( {x - a} \right)\left[ {\cos \left( {x - a} \right) - 2\cos a\cos x} \right] + {\cos ^2}x

\begin{array}{l} = \cos \left( {x - a} \right)\left( { - \cos x\cos a + \sin x\sin a} \right) + {\cos ^2}x =  - \cos \left( {x - a} \right).\cos \left( {x + a} \right) + {\cos ^2}x\\ =  - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos 2a} \right) + \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{{1 - \cos 2a}}{2} = {\sin ^2}a\end{array}

Câu 19 Trắc nghiệm
Cho \sin \alpha  = 0,6 và  \dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi . Khi đó \cos 2\alpha bằng:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: \cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 1 - {2.0,6^2} = 0,28

Câu 20 Trắc nghiệm

Tính C = \cos \dfrac{{2\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{4\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{6\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{8\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{10\pi }}{{11}}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Với k = 1,2,3,4,5  ta có

\cos \dfrac{{\left( {2k} \right)\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}} \right]

\begin{array}{l} \Rightarrow C.\sin \dfrac{\pi }{{11}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{\pi }{{11}}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{3\pi }}{{11}}} \right) + ... + \left( {\sin \dfrac{{11\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{9\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ =  - \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\\ \Rightarrow C =  - \dfrac{1}{2}\end{array}