Tích vô hướng của hai vectơ

Vì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ suy ra $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^0}$

Do đó $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos {0^{\rm{o}}} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$ nên chọn A.

Phương án A:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB}$ ngược hướng suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB}  = MA.AB.\cos {180^{\rm{o}}} =  - MA.AB$ nên loại A.

Phương án B:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ ngược hướng suy ra  $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = MA.MB.\cos {180^{\rm{o}}} =  - MA.MB$ nên loại B.

Phương án C: $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB}$ cùng hướng suy ra $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = AM.AB.\cos {0^{\rm{o}}} = AM.AB$ nên loại C.

Phương án D:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ ngược hướng suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = MA.MB.\;\cos {180^{\rm{o}}} =  - MA.MB$ nên chọn D.

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$ $\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$ $\Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  - 1$ nên $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược  hướng.

Ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HB} } \right).\overrightarrow {BC}$$= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}$ $= \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}  = HB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ $= \dfrac{2}{3}BC.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ $= \dfrac{2}{3}.6.6.\cos {180^0} =  - 24$

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.

Phương án  A:$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC\cos {60^{\rm{o}}} = 2 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BC}$ nên loại A.

Phương án B:$\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  = BC.AC\cos {120^{\rm{o}}} =  - 2$ nên loại B.

Phương án C:$\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = 4$ nên chọn C.

Phương án D: $\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( { - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BA} = B{A^2} = 4$ nên loại D.

Ta có $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  = BA.CA.\cos {120^{\rm{o}}} =  - \dfrac{1}{2}{a^2}$.

Phương án  A:$\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB}$ suy ra $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0$ nên loại A.

Phương án  B: $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} .\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC}$ nên loại B.

Phương án  C:  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos {45^{\rm{o}}}$ $= AB.AB\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.DC.\cos {180^0} =  - A{B^2}$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}$ nên chọn C.

Phương án  A: Do $\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB}  = DA.CB.\cos {0^0} = {a^2}$ nên loại A đúng, loại A.

Phương án  B: Do $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.CD.\cos {180^{\rm{o}}} =  - {a^2}$ nên B đúng, loại B.

Phương án C: $\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = A{C^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}$ nên C sai, chọn C.

Phương án D: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD}  = 0$ đúng vì $AB \bot AD,CB \bot CD$

Phương án  A:$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC}  = AB.DC.\cos {0^{\rm{o}}} = 8{a^2}$nên loại A.

Phương án  B:$\overrightarrow {AD}  \bot \overrightarrow {CD}$ suy ra $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CD}  = 0$ nên loại B.

Phương án  C:$\overrightarrow {AD}  \bot \overrightarrow {AB}$ suy ra $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  = 0$nên loại C.

Phương án  D:$\overrightarrow {DA}$ không vuông góc với $\overrightarrow {DB}$suy ra $\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB}  \ne 0$ nên chọn D .

Ta có:

$\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID}$ $= \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {ID}  =$ $2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}$ $=  - \dfrac{{9{a^2}}}{2}$ 

(do $AB \bot ID$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {ID}  = 0$)

Nên chọn B.

Phương án  A:$\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BH}  \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BH}$ nên đẳng thức ở phương án A là đúng.

Phương án  B:$\overrightarrow {CA}  = 4\overrightarrow {CI}  \Rightarrow \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA}  = 4\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CI}$ nên đẳng thức ở phương án B là đúng.

Phương án  C:

$\left. \begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BC}  = {a^2}\\2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 2.a.a.\dfrac{1}{2} = {a^2}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}$nên đẳng thức ở phương án C là đúng.

Vậy chọn D.

Phương án  A:do $\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  =  - \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = 0$ nên loại A

Phương án  B:do $\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CK}  = CB.CK.\cos {60^{\rm{o}}} = \dfrac{{{a^2}}}{4}$ nên loại B và loại D.

Phương án  C: Do $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos {60^{\rm{o}}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$ nên chọn C.

Vì $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {135^{\rm{o}}} \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) =\cos 135^o=  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Ta có $\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = a.a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}$.

$\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = 0$ $\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {CB}  = 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CB}  = 0$

Tập hợp điểm $M$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$.

Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên ta có: AB = DC = a.

$\begin{array}{l}\angle \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {DC} } \right) = \angle \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {Cx} } \right) = \angle ACx = {180^0} - \angle ACD.\\ \Rightarrow \cos \angle ACD = \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ACD = {60^0}\\ \Rightarrow \angle ACx = {180^0} - {60^0} = {120^0}.\end{array}$