Các câu sau đây,có bao nhiêu câu là mệnh đề?
(1) Ở đây đẹp quá!
(2) Phương trình \({x^2} - 3x + 1 = 0\) vô nghiệm
(3) $16$ không là số nguyên tố
(4) Hai phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) và \({x^2} - \sqrt {x + 3} + 1 = 0\) có nghiệm chung.
(5) Số \(\pi \) có lớn hơn \(3\) hay không?
(6) Italia vô địch Worldcup $2006$
(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
(8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Câu $(1)$ và $(5)$ không là mệnh đề (vì là câu cảm thán, câu hỏi)
Các câu $(3), (4), (6)$ là những mệnh đề đúng
Câu $(2),(7)$ và $(8)$ là những mệnh đề sai.
Vậy có \(6\) mệnh đề.
Trong một trận đấu có bốn đội tham gia là \(A,B,C,D\). Trước khi thi đấu, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đoán như sau:
Dung: \(B\) nhì, còn \(C\) ba.
Quang: \(A\) nhì, còn \(C\) tư.
Trung: \(B\) nhất và \(D\) nhì.
Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?
Ta xét dự đoán của bạn Dung, giả sử dự đoán \(B\) nhì của Dung đúng thì dẫn đến\(B\) nhất của Trung là sai do đó \(D\) nhì của Trung là đúng (mâu thuẫn giả thiết \(B\) nhì)
Như vậy \(C\) thứ ba là đúng suy ra \(A\) nhì \(B\) nhất và \(D\) thứ tư.
Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau, cho biết mệnh đề phủ định này đúng hay sai?
\(K:\) " Phương trình \({x^4} - 2{x^2} + 2 = 0\) có nghiệm "
\(\overline K :\) " Phương trình \({x^4} - 2{x^2} + 2 = 0\) vô nghiệm ", mệnh đề này đúng vì \({x^4} - 2{x^2} + 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 1 > 0\)
Phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) và xét tính đúng sai của nó với:
\(P:\) "Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi" và \(Q:\)" Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau"
Ta có mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) đúng vì mệnh đề \(P \Rightarrow Q,\,\,Q \Rightarrow P\) đều đúng và được phát biểu như sau:
"Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau" hoặc "Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nếu và chỉ nếu tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau"
Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề \(K:\) " Bất phương trình \({x^{2013}} > 2030\) vô nghiệm " và xét tính đúng sai của nó.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(K\) là \(\overline K :\)" Bất phương trình \({x^{2013}} > 2030\) có nghiệm ", mệnh đề này đúng, cụ thể có thể chọn giá trị \(x = 2\) thỏa mãn bất phương trình.
Cho các mệnh đề :
A : “Nếu $\Delta ABC$ đều có cạnh bằng $a,$ đường cao là $h$ thì $h = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$”
B : “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông”
C : “$15$ là số nguyên tố”
D : “\(\sqrt {225} \) là một số nguyên”
Chọn câu sai:
Xét từng mệnh đề bài cho ta thấy mệnh đề A và D là các mệnh đề đúng, mệnh đề B, C là sai.
Ta xét từng đáp án sau:
Đáp án A: Ta thấy mệnh đề $A \Rightarrow B$ sai vì $A$ đúng và $B$ sai \(\Rightarrow\) đáp án A đúng.
Đáp án B: Ta thấy mệnh đề $A \Leftrightarrow D$ đúng vì hai mệnh đề $A$ và $D$ đều đúng \(\Rightarrow\) đáp án B đúng.
Đáp án C: Ta thấy mệnh đề $B \Leftrightarrow C$ đúng vì hai mệnh đề $B$ và $C$ đều sai \(\Rightarrow\) đáp án C đúng.
Đáp án D: Ta thấy mệnh đề $A \Rightarrow D$ đúng vì $A$ và $D$ đều đúng \(\Rightarrow\) đáp án D sai.
Cho hai mệnh đề: $P{\rm{ }}:$ " \(\sqrt 2 - \sqrt 3 > - 1\)" và $Q:$"\({\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)^2} > {\left( { - 1} \right)^2}\) "
Xét tính đúng sai của các mệnh đề \(P \Rightarrow Q,\overline Q \Rightarrow P\) ta được:
Ta có: Mệnh đề $P$ đúng, $Q$ sai.
Mệnh đề \(\overline Q :\) “\({\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)^2} \le {\left( { - 1} \right)^2}\)” là mệnh đề đúng.
\(P \Rightarrow Q\): " Nếu \(\sqrt 2 - \sqrt 3 > - 1\) thì \({\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)^2} > {\left( { - 1} \right)^2}\) "
\(\overline Q \Rightarrow P\): " Nếu \({\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)^2} \le {\left( { - 1} \right)^2}\) thì \(\sqrt 2 - \sqrt 3 > - 1\) "
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai vì $P$ đúng, $Q$ sai, mệnh đề \(\overline Q \Rightarrow P\) đúng vì \(\overline Q \) và \(P\) đều đúng.
Cho mệnh đề chứa biến "\(P\left( x \right):x > {x^3}\)”. Chọn kết luận đúng:
Đáp án A:\(P\left( 1 \right):1 > {1^3}\) đây là mệnh đề sai nên A sai.
Đáp án B: $P\left( {\dfrac{1}{3}} \right):\dfrac{1}{3} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}$ đây là mệnh đề đúng nên B đúng.
Đáp án C: \(\forall x \in N,\,\,x > {x^3}\) là mệnh đề sai vì \(P\left( 1 \right)\) là mệnh đề sai nên C sai.
Đáp án D: \(\exists x \in N,\,\,x > {x^3}\) là mệnh đề sai vì \(x - {x^3} = x\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) \le 0\) với mọi số tự nhiên nên không tồn tại số tự nhiên \(x\) nào thỏa mãn \(x > {x^3}\) nên D sai.
Dùng các kí hiệu \(\forall ,\exists \) để viết lại mệnh đề sau và viết mệnh đề phủ định của nó: \(Q:\) “Với mọi số thực thì bình phương của nó là một số không âm”
Ta có \(Q:\,\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} \ge 0\), mệnh đề phủ định là \(\overline Q :\,\exists x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} < 0\)
Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm phủ định của mệnh đề: $B:$" Tồn tại số tự nhiên là số nguyên tố".
Mệnh đề $B$ đúng và \(\overline B \) : “Mọi số tự nhiêu đều không phải là số nguyên tố"
Cho mệnh đề chứa biến: \(P\left( x \right):\,''{x^2} - 2x \ge 0''\) với \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(x\) nào dưới đây làm cho \(P\left( x \right)\) đúng?
+ Với \(x = \dfrac{1}{4}\) ta có \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} - 2.\dfrac{1}{4} = - \dfrac{7}{{16}} < 0\) nên \(P\left( {\dfrac{1}{4}} \right)\) sai.
+ Với $x = 2$ ta có \({2^2} - 2.2 = 0 \ge 0\) nên \(P\left( 2 \right)\) là mệnh đề đúng.
+ Với \(x = 1\) thì \({1^2} - 2.1 = - 1 < 0\) nên \(P\left( 1 \right)\) sai.
+ Với \(x = 0,5\) thì \({0,5^2} - 2.0,5 = - \dfrac{3}{4} < 0\) nên \(P\left( {0,5} \right)\) sai.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây:
Đáp án A: Mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^3} - {x^2} + 1 > 0\) sai chẳng hạn khi $x = - 1$ ta có \({\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = - 1 < 0\)
Đáp án B: Mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} - {x^2} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 1} \right)\) đúng vì
\(\,{x^4} - {x^2} + 1 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - 3{x^2} = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 1} \right)\)
Đáp án C: Mệnh đề \(\exists x \in N,\,\,{n^2} + 3\) chia hết cho $4$ đúng vì \(n = 1 \in N\)và \({n^2} + 3 = 4 \vdots 4\)
Đáp án D: Mệnh đề "\(\forall n \in N,\,n\left( {n + 1} \right)\) là một số chẵn" đúng vì \(n,n + 1\) là hai số tự nhiên liên tiếp và trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có \(1\) số chẵn nên tích của chúng chia hết cho \(2\) (là một số chẵn)
Cho mệnh đề $P:$ "Với mọi số thực $x,$ nếu $x$ là số hữu tỉ thì $2x$ là số hữu tỉ".
Xác định tính đúng - sai của các mệnh đề \(P,\overline P \)
Mệnh đề $P:$$''\forall x \in R,x \in \mathbb{Q} \Rightarrow 2x \in \mathbb{Q}''$. Mệnh đề này đúng vì \(x \in \mathbb{Q},2 \in \mathbb{Q}\) nên $2x \in \mathbb{Q}$
Vì mệnh đề $P$ đúng nên mệnh đề $\overline P$ sai.
Cho số tự nhiên $n.$ Xét hai mệnh đề chứa biến :$A\left( n \right): $"$n$ là số chẵn", $B\left( n \right): $"${n^2}$ là số chẵn". Hãy phát biểu mệnh đề “$\forall n \in \mathbb{N},\,\,B(n) \Rightarrow A(n)$”.
“$\forall n \in \mathbb{N},\,\,B(n) \Rightarrow A(n)$” : Với mọi số tự nhiên $n,$ nếu ${n^2}$ là số chẵn thì $n$ là số chẵn.
Cho tập hợp $A = \left\{ {1,2,3,4,a,b} \right\}$. Xét các mệnh đề sau đây:
$\left( I \right)$: “$3 \in A$”.
$\left( {II} \right)$: “$\left\{ {3,4} \right\} \in A$”.
$\left( {III} \right)$: “$\left\{ {a,3,b} \right\} \in A$”.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng
$3$ là một phần tử của tập hợp $A$.
$\left\{ {3,4} \right\}$ là một tập con của tập hợp $A$. Ký hiệu: $\left\{ {3,4} \right\} \subset A$.
$\left\{ {a,3,b} \right\}$ là một tập con của tập hợp $A$. Ký hiệu: $\left\{ {a,3,b} \right\} \subset A$.
Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:
$A = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Z}\left| {\left| {\rm{x}} \right| < 1} \right.} \right\} \Rightarrow A = \left\{ 0 \right\}.$
$B = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Z}\left| {6{x^2} - 7x + 1 = 0} \right.} \right\}$.
Ta có $6{x^2} - 7x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{6} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow B = \left\{ 1 \right\}.$
$C = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Q}\left| {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 4x + 2 = 0} \right.} \right\}$.
Ta có ${x^2} - 4x + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\\x = 2 + \sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow C = \emptyset $
$D = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{R}\left| {{x^2} - 4x + 3 = 0} \right.} \right\}$.
Ta có ${x^2} - 4x + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$ $ \Rightarrow D = \left\{ {1;\,3} \right\}.$
Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Câu nào sau đây đúng?
Số tập con của tập hợp \(X\) là: \({2^4} = 16\) nên A đúng.
Các tập hợp con có \(2\) phần tử của \(X\) là:
\(\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {1;4} \right\},\left\{ {2;3} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {3;4} \right\}\)
Có \(6\) tập hợp con gồm \(2\) phần tử nên B sai.
Số tập con của tập hợp \(X\) chứa số \(1\) là: \(8\) nên C sai.
Đó là các tập hợp: \(\left\{ 1 \right\}\), \(\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\}\), \(\left\{ {1;4} \right\}\), \(\left\{ {1;2;3} \right\}\), \(\left\{ {1;2;4} \right\}\), \(\left\{ {1;3;4} \right\}\), \(\left\{ {1;2;3;4} \right\}.\)
Số tập con có $3$ phần tử của tập hợp \(X\) là: \(4\), cụ thể: \(\left\{ {1;2;3} \right\},\left\{ {1;2;4} \right\},\left\{ {2;3;4} \right\},\left\{ {1;3;4} \right\}\) nên D sai.
Cho \(A = \left[ { - 3;2} \right)\). Tập hợp\({C_\mathbb{R}}A\) là :
Biểu diễn A và phần bù của A:
\({C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left[ { - 3;2} \right)\)\( = \left( { - \infty ;\, - 3} \right) \cup \left[ {2;\, + \infty } \right).\)
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng:
A sai vì \(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} = I\)
B sai vì ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cup \mathbb{N} = \mathbb{N}$
C sai vì ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{Z} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cap \mathbb{Z} = {\mathbb{N}^*}$
D đúng do ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{Q} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cap \mathbb{Q} = {\mathbb{N}^*}$
Cho các tập hợp:
\(M = \){$x \in \mathbb{N}\left| x \right.\,$ là bội số của \(2\)}.
\(N = \){$x \in \mathbb{N}\left| x \right.\,$ là bội số của \(6\)}.
\(P = \){$x \in \mathbb{N}\left| x \right.\,$là ước số của \(2\)}.
\(Q = \){$x \in \mathbb{N}\left| x \right.\,$là ước số của \(6\)}.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
+) \(M = \left\{ {0;\,2;\,4;\,6;\,8;\,10 ;\,12;...} \right\};\) $N = \left\{ {0;\,6;\,12;...} \right\}$
Ta thấy các phần tử của $N$ đều xuất hiện trong tập $M$ nên $N$ là tập con của $M$
$ \Rightarrow N \subset M \Rightarrow M \cap N = N$ $\Rightarrow$A sai và C đúng
+) $ P = \left\{ {1;\,2} \right\};$ $Q = \left\{ {1;\,2;\,3;\,6} \right\}$ $ \Rightarrow \,\,P \subset Q,\,\,P \cap Q = P$
$\Rightarrow$ B và D đều sai.