Cho hypebol (H):x216−y29=1, xác định tọa độ các đỉnh của (H):
(H):x216−y29=1⇒a=4,b=3
Tọa độ các đỉnh của (H) là: A1(−4;0);A2(4;0);B1(0;−3);B2(0;3)
Cho hypebol (H):4x2−y2=4, độ dài của trục thực và trục ảo của (H) lần lượt là:
(H):4x2−y2=4⇔x21−y24=1 ⇒a=1;b=2
Độ dài trục thực: A1A2=2a=2.1=2
Độ dài trục ảo: B1B2=2b=2.2=4
Hypebol (H):25x2−16y2=400 có tiêu cự bằng:
(H):25x2−16y2=400⇔x216−y225=1⇒a=4,b=5
Mà a2+b2=c2⇔c2=42+52=41⇒c=√41
⇒ Tiêu cự F1F2=2c=2√41.
Tọa độ các tiêu điểm của hypebol (H):x2−y2=1 là:
(H):x2−y2=1⇒a=b=1
Mà a2+b2=c2⇔c2=12+12=2⇒c=√2
⇒ Tiêu điểm F1(−√2;0),F2(√2;0).
Hypebol (H):16x2−9y2=16 có các đường tiệm cận là:
(H):16x2−9y2=16 ⇔x21−y2169=1 ⇒a=1,b=43
Hai đường tiệm cận của (H): y=bax=431x=43x;
y=−bax=−431x=−43x
Hypebol (H):9x2−16y2=144 có tâm sai:
(H):9x2−16y2=144⇔x216−y29=1⇒a=4,b=3
Mà a2+b2=c2⇔c2=42+32=25⇒c=5
Tâm sai e=ca=54.
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có tiêu điểm F2(5;0) và đỉnh A(−4;0)
(H) có tiêu điểm F2(5;0) và đỉnh A(−4;0) ⇒c=5,a=4
Mà a2+b2=c2⇔42+b2=52⇒b=3
Phương trình chính tắc của (H): x216−y29=1
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có trục thực, trục ảo dài lần lượt là 10 và 6.
(H) có trục thực, trục ảo dài lần lượt là 10 và 6 ⇒a=5,b=3
Phương trình chính tắc của (H): x225−y29=1
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có trục thực dài bằng 8 và tâm sai e=54.
(H) có trục thực dài bằng 8 và tâm sai e=54⇒a=4,e=ca=54 ⇒c=54.a=54.4=5
Mà a2+b2=c2⇔42+b2=52⇒b=3
Phương trình chính tắc của (H): x216−y29=1.
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có tiêu cự bằng 16 và tâm sai e=43.
(H) có tiêu cự bằng 16 và tâm sai e=43 ⇒c=8,e=ca=43 ⇒a=34c=34.8=6
Mà a2+b2=c2⇔62+b2=82⇒b2=28
Phương trình chính tắc của (H): x236−y228=1
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) đi qua A(√10;6) và có tâm sai e=√5
Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x2a2−y2b2=1,(a,b>0)
(H) đi qua A(√10;6) ⇒10a2−36b2=1 (1)
(H) có tâm sai e=√5⇒ca=√5⇔c2a2=5⇔c2=5a2
Mà a2+b2=c2⇔a2+b2=5a2⇔b2=4a2. Thay vào (1), ta được:
10a2−364a2=1⇔1a2=1⇔a2=1
⇒b2=4a2=4.1=4
⇒ Phương trình chính tắc của hypebol (H): x21−y24=1
Tìm tâm sai của hypebol biết góc hợp bởi tiệm cận và Ox bằng 450
Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x2a2−y2b2=1,(a,b>0)
Phương trình 2 đường tiệm cận của (H) là: y=±bax
Vì góc hợp bởi tiệm cận và Ox bằng 450 ⇒ba=tan450⇔ba=1⇔b2a2=1 ⇔b2=a2
Mà a2+b2=c2⇒a2+a2=c2⇔2a2=c2⇔c2a2=2⇔ca=√2⇔e=√2
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có tâm sai e=53 và diện tích của hình chữ nhật cơ sở là 48 đơn vị diện tích.
Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x2a2−y2b2=1,(a,b>0)
(H) có tâm sai e=53⇒ca=53⇔c=53a
Mà a2+b2=c2⇒a2+b2=(53a)2⇔b2=169a2⇔b=43a (1)
Vì diện tích của hình chữ nhật cơ sở là 48 đơn vị diện tích nên
2a.2b=48⇔ab=12 (2)
Từ (1), (2), suy ra: a.43a=12⇔a2=9
Mà b2=169a2=169.9=16
Phương trình chính tắc của (H): x29−y216=1
Tìm tâm sai của (H) biết góc giữa hai đường tiệm cận của (H) bằng 600
Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x2a2−y2b2=1,(a,b>0)
Vì góc giữa hai đường tiệm cận của (H) bằng 600 ⇒|b2−a2|a2+b2=cos600 ⇔|b2−a2|a2+b2=12 ⇔[b2−a2a2+b2=12a2−b2a2+b2=12 ⇔[b2=3a2a2=3b2
Ta có: a2+b2=c2
TH1: b2=3a2⇒a2+3a2=c2⇔4a2=c2⇔c2a2=4⇔ca=2⇔e=2
TH2: a2=3b2⇔b2=13a2⇒a2+13a2=c2⇔43a2=c2⇔c2a2=43⇔ca=2√3⇔e=2√3
Vậy, e=2 hoặc e=2√3
Cho hypebol (H):x2a2−y2b2=1(b>a>0). Cho k là một số thực dương. Xét các đường thẳng (d1):y=kx,(d2):y=−1kx đều cắt (H) tại 2 điểm phân biệt. Gọi A và C lần lượt là giao điểm của (d1) với (H) (A nằm trong góc phần tư thứ nhất). Gọi B và D lần lượt là giao điểm của (d2) với (H) (B nằm trong góc phần tư thứ hai). Tìm k sao cho hình thoi ABCD có diện tích nhỏ nhất.
Giả sử phương trình đường thẳng AC là y=kx
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình {y=kxx2a2−y2b2=1⇔{y=kxx2a2−k2x2b2=1⇔{y2=k2x2x2(1a2−k2b2)=1⇔{x2=a2b2b2−k2a2y2=k2a2b2b2−k2a2
⇒OA2=x2+y2=a2b2b2−k2a2+k2a2b2b2−k2a2=(1+k2)a2b2b2−k2a2⇒1OA2=b2−k2a2(1+k2)a2b2
Chứng minh tương tự ta được OB2=(1+k2)a2b2k2b2−a2⇒1OB2=k2b2−a2(1+k2)a2b2
⇒1OA2+1OB2=b2−k2a2(1+k2)a2b2+k2b2−a2(1+k2)a2b2=b2(1+k2)−a2(1+k2)(1+k2)a2b2=b2−a2a2b2=1a2−1b2=const
Khi đó:
1a2−1b2=1OA2+1OB2Cauchy≥2OA.OB=4SABCD⇔b2−a2a2b2≥4SABCD⇔SABCD≥4a2b2b2−a2⇒SABCDMin=4a2b2b2−a2⇔OA=OB
⇔ΔOAB vuông cân tại O
⇒y=kx là tia phân giác của góc phần tư thứ I
⇒k=1