Nhị thức Newton

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {2x} \right)^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,{x^2}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.2^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{10\, + \,k}}.$

Hệ số của ${x^{12}}$ ứng với $10+k=12\Leftrightarrow k=2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Hệ số cần tìm là $C_{10}^2{.2^8}.{\left( { - \,1} \right)^2} = C_{10}^2{.2^8}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^{13}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{13} {C_{13}^k} .{x^{13\, - \,k}}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{13} {C_{13}^k} .{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{13\, - \,k}}.{x^{ - \,k}} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{13} {C_{13}^k} .{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{13\, - \,2k}}.$

Hệ số của số hạng ${x^7}$ ứng với $13-2k=7\Leftrightarrow k=3\,\,\xrightarrow{{}}$ Số hạng cần tìm là $ - \,C_{13}^3\,{x^7}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {{x^2} + \dfrac{2}{x}} \right)^6} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^6 {C_6^k} .{\left( {{x^2}} \right)^{6\, - \,k}}.{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^6 {C_6^k} .{x^{12 - 2k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{x^k}}} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^6 {C_6^k} {.2^k}.{x^{12\, - \,3k}}.$

Số hạng không chứa $x$ ứng với $12-3k=0\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Số hạng cần tìm là $C_6^4{.2^4}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {x{y^2}} \right)^{8 - k}}.{\left( { - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{8 - k}}.{y^{16 - 2k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {xy} \right)^{ - k}} $ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{8 - 2k}}.{y^{16 - 3k}}.$

Số hạng không chứa $x$ ứng với $8-2k=0\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Số hạng cần tìm là $C_8^4.{\left( { - \,1} \right)^4}.{y^4} = 70{y^4}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {{x^2} + \dfrac{1}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{\left( {{x^2}} \right)^{12\, - \,k}}.{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{x^{24\, - \,2k}}.{x^{ - \,k}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{x^{24\, - \,3k}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ ứng với $\left\{ \begin{array}{l}C_{12}^k = 495\\24 - 3k = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{12!}}{{\left( {12 - k} \right)!.k!}} = 495 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 4 \Rightarrow m = 12\\k = 8 \Rightarrow m = 0\end{array} \right..$

Cách bấm máy tính giải phương tình ẩn k: Bấm như sau từ 1 đến 12, những số cho đáp án là 495 là nghiệm k cần tìm.

Xét khai triển

\({\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{\left( { - 1} \right)^0}{x^n} + C_n^1{\left( { - 1} \right)^1}{x^{n - 1}}\)\( + ... + C_n^n{\left( { - 1} \right)^n}{x^0}\)

Thay x = 3 ta có: \({\left( {3 - 1} \right)^n} \)\(= {3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n \)\(= 2048 \Leftrightarrow {2^n} = 2048 \Leftrightarrow n = 11.\)

\( \Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{2^{11 - k}}} \)\( \,\left( {0 \le k \le n,k \in N} \right)\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^{10}} \Leftrightarrow k = 10.\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\) là: \(C_{11}^{10}2 = 22.\)

$ \bullet $ Xét khai triển ${x^2}{\left( {1 + 2x} \right)^{10}} = {x^2}.\sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.1^{10\, - \,k}}.{\left( {2x} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.2^k}.{x^{2\, + \,k}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ ứng với ${{x}^{2\,+\,k}}={{x}^{8}}\Leftrightarrow k=6\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Hệ số của ${x^8}$ là ${2^6}.C_{10}^6.$

$ \bullet $ Xét khai triển ${x^4}{\left( {3 + x} \right)^8} = {x^4}.\sum\limits_{i\, = \,0}^8 {C_8^i} {.3^{8\, - \,i}}.{x^i} = \sum\limits_{i\, = \,0}^8 {C_8^i} {.3^{8\, - \,i}}.{x^{i\, + \,4}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ ứng với ${{x}^{i\,+\,4}}={{x}^{8}}\Leftrightarrow i=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$ Hệ số của ${x^8}$ là $C_8^4{.3^4}.$

Vậy hệ số cần tìm là ${2^6}.C_{10}^6 - {3^4}.C_8^4 = 7770.$ 

Điều kiện: $n \ge 2.$ Ta có $3C_{n\, + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2 \Leftrightarrow 3.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!.2!}} + 2n = 4.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}n\left( {n + 1} \right) + 2n = 4n\left( {n - 1} \right)$

$ \Leftrightarrow 3\left( {n + 1} \right) + 4 = 8\left( {n - 1} \right) \Leftrightarrow 3n + 3 + 4 = 8n - 8 \Leftrightarrow 5n = 15 \Leftrightarrow n = 3.$

Với $n = 3,$ theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^{10\, - \,k}}.{\left( {{x^3}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .\dfrac{{{x^{3k}}}}{{{x^{10\, - \,k}}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{x^{4k\, - \,10}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ ứng với $4k-10=6\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}$ Hệ số cần tìm là $C_{10}^4 = 210.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {\sqrt {{x^3}}  + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^n} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{\left( {\sqrt {{x^3}} } \right)^{n\, - \,k}}.{\left( {\dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{\frac{{3\left( {n\, - \,k} \right)}}{2}}}.{x^{ - \,\frac{{2k}}{3}}} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{\frac{{3n}}{2} - \frac{{13k}}{6}}}.$

Suy ra tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là ${3^0}.C_n^0 + {3^1}.C_n^1 + {3^2}.C_n^2 = 631$

$ \Leftrightarrow 1 + 3n + \dfrac{{9n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 631 \Rightarrow n = 12.$ Khi đó ${\left( {\sqrt {{x^3}}  + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} {.3^k}.{x^{18\, - \,\frac{{13k}}{6}}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^5}$ ứng với $18-\dfrac{13k}{6}=5\Leftrightarrow k=6\,\,\xrightarrow{{}}$ Hệ số cần tìm là $C_{12}^6{.3^6}.$ 

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{99}} = C_{99}^0{a^{99}} + C_{99}^1{a^{98}}b + C_{99}^2{a^{97}}{b^2} + ... + C_{99}^{98}a{b^{98}} + C_{99}^{99}{b^{99}}\)

Thay \(a = 3,b = 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {3 + 4} \right)^{99}} = C_{99}^0{.3^{99}} + C_{99}^1{.3^{98}}.4 + C_{99}^2{.3^{97}}{.4^2} + ... + C_{99}^{98}{.3.4^{98}} + C_{99}^{99}{.4^{99}}\\ \Leftrightarrow {7^{99}} = {3^{99}}C_{99}^0 + {3^{98}}.4C_{99}^1 + {3^{97}}{.4^2}C_{99}^2 + ... + {3.4^{98}}C_{99}^{98} + {4^{99}}C_{99}^{99}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{2018}} = C_{2018}^0{a^{2018}} + C_{2018}^1{a^{2017}}b + C_{2018}^2{a^{2016}}{b^2} + ... + C_{2018}^{2017}a{b^{2017}} + C_{2018}^{2018}{b^{2018}}\)

Thay \(a = 1,b = 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + 2} \right)^{2018}} = C_{2018}^0{.1^{2018}} + C_{2018}^1{.1^{2017}}.2 + C_{2018}^2{.1^{2016}}{.2^2} + ... + C_{2018}^{2017}{.1.2^{2017}} + C_{2018}^{2018}{.2^{2018}}\\ \Leftrightarrow {3^{2018}} = C_{2018}^0 + 2C_{2018}^1 + {2^2}C_{2018}^2 + ... + {2^{2017}}C_{2018}^{2017} + {2^{2018}}C_{2018}^{2018}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{99}} = C_{99}^0{a^{99}} + C_{99}^1{a^{98}}b + C_{99}^2{a^{97}}{b^2} + ... + C_{99}^{98}a{b^{98}} + C_{99}^{99}{b^{99}}\)

Thay \(a = 9,b = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {9 + 1} \right)^{99}} = C_{99}^0{.9^{99}} + C_{99}^1{.9^{98}}.1 + C_{99}^2{.9^{97}}{.1^2} + ... + C_{99}^{98}{.9.1^{98}} + C_{99}^{99}{.1^{99}}\\ \Leftrightarrow {10^{99}} = {9^{99}}C_{99}^0 + {9^{98}}C_{99}^1 + {9^{97}}C_{99}^2 + ... + 9C_{99}^{98} + C_{99}^{99}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Thay \(a = 5,b =  - 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {5 - 2} \right)^n} = C_n^0{5^n} + C_n^1{5^{n - 1}}\left( { - 2} \right) + C_n^2{5^{n - 2}}{\left( { - 2} \right)^2} + ... + C_n^{n - 1}5{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} + C_n^n{\left( { - 2} \right)^n}\\ \Leftrightarrow {3^n} = {5^n}C_n^0 - {5^{n - 1}}.2.C_n^1 + {5^{n - 2}}{.2^2}C_n^2 + ... + 5{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {\left( { - 2} \right)^n}C_n^n\end{array}\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Thay \(a = 1,b = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}{2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n\\ \Leftrightarrow {2^n} = 1 + n + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2} + n + 1\\ \Leftrightarrow {2^n} - 2n - 2 = C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2}\end{array}\)

Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\) ta có:

\(S = C_{2017}^{1009} + C_{2017}^{1010} + C_{2017}^{1011} + C_{2017}^{1012}... + C_{2017}^{2017} = C_{2017}^{1008} + C_{2017}^{1007} + C_{2017}^{1006} + C_{2017}^{1005}... + C_{2017}^0\)

Suy ra \(2S = C_{2017}^0 + ... + C_{2017}^{1005} + C_{2017}^{1006} + C_{2017}^{1007} + C_{2017}^{1008} + C_{2017}^{1009} + C_{2017}^{1010} + C_{2017}^{1011} + C_{2017}^{1012}... + C_{2017}^{2017}\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{2017}} = C_{2017}^0{a^{2017}} + C_{2017}^1{a^{2016}}b + C_{2017}^2{a^{2015}}{b^2} + ... + C_{2017}^{2016}a{b^{2016}} + C_{2017}^{2017}{b^{2017}}\)

Thay \(a = 1,b = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}{2^{2017}} = C_{2017}^0 + C_{2017}^1 + C_{2017}^2 + ... + C_{2017}^{2016} + C_{2017}^{2017}\\ \Leftrightarrow {2^{2017}} = 2S \Leftrightarrow S = {2^{2016}}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{2n}} = C_{2n}^0{a^{2n}} + C_{2n}^1{a^{2n - 1}}b + C_{2n}^2{a^{2n - 2}}{b^2} + ... + C_{2n}^{2n - 1}a{b^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}{b^{2n}}\)

Thay \(a = 1,b =  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}0 = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 2} - C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + C_{2n}^6 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + C_{2n}^7 + ... + C_{2n}^{2n - 1}\end{array}\)

Đáp án A đúng.

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{a^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{a^{2n}}b + C_{2n + 1}^2{a^{2n - 1}}{b^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}a{b^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{b^{2n + 1}}\)

Thay \(a = 1,b =  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}0 = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 - C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n - 2} - C_{2n + 1}^{2n - 1} + C_{2n + 1}^{2n} - C_{2n + 1}^{2n + 1}\\ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + C_{2n + 1}^6 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + C_{2n + 1}^7 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\end{array}\)

Đáp án C đúng.

Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\) ta có:

\(\begin{array}{l}C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n + 1}\\C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\C_{2n + 1}^2 = C_{2n + 1}^{2n - 1}\\...\\C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1}\end{array}\)

Cộng vế với vế ta có

\(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + C_{2n + 1}^{n + 3} + C_{2n + 1}^{n + 4} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\)

Đáp án D đúng.

Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\) ta có:

\(\begin{array}{l}C_{2n}^0 = C_{2n}^{2n}\\C_{2n}^1 = C_{2n}^{2n - 1}\\C_{2n}^2 = C_{2n}^{2n - 2}\\...\\C_{2n}^{n - 1} = C_{2n}^{n + 1}\end{array}\)

Cộng vế với vế ta có

\(\begin{array}{l}C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{n - 1} = C_{2n}^{n + 1} + C_{2n}^{n + 2} + C_{2n}^{n + 3} + C_{2n}^{n + 4} + ... + C_{2n}^{2n}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^n > C_{2n}^{n + 1} + C_{2n}^{n + 2} + C_{2n}^{n + 3} + C_{2n}^{n + 4} + ... + C_{2n}^{2n}\end{array}\)

Đáp án B sai.

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Thay \(a = 1,b = 2\) ta có:

\({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n\)

Kết hợp với giả thiết ta có: \({3^n} = 243 \Leftrightarrow {3^n} = {3^5} \Leftrightarrow n = 5\)

Điều kiện: $n \ge 2$

Từ giả thiết, ta có

$6.C_{n\, + \,1}^{n\, - \,1} = A_n^2 + 160 $ $\Leftrightarrow 6.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!.2!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 160.$

$ \Leftrightarrow 3n\left( {n + 1} \right) = n\left( {n - 1} \right) + 160 $ $\Leftrightarrow 2{n^2} + 4n - 160 = 0 \Leftrightarrow n = 8$ (vì điều kiện $n \ge 2$).

Khi đó, ta được khai triển $\left( {1 - 2{x^3}} \right){\left( {2 + x} \right)^8} = {\left( {2 + x} \right)^8} - 2{x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {2 + x} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k}.$

Suy ra hệ số của ${x^7}$ ứng với $k = 7.$

$\,\xrightarrow{{}}$ Hệ số của ${x^7}$ trong khai triển ${\left( {2 + x} \right)^8}$  là $2.C_8^7.$

${x^3}{\left( {2 + x} \right)^8} = {x^3}.\sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^{k\, + \,3}}.$

Suy ra hệ số của ${x^7}$ ứng với $k + 3 = 7 \Leftrightarrow k = 4.$

$\xrightarrow{{}}$ Hệ số của ${x^7}$ trong khai triển ${x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}$ là ${2^4}.C_8^4.$

Vậy hệ số cần tìm là $2.C_8^7 - {2.2^4}.C_8^4 =  - \,2224.$

Ta có:

\({\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x + C_{2n + 1}^2{x^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\)

Mặt khác:

\({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}\)

\({\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1x + C_{n + 1}^2{x^2} + ... + C_{n + 1}^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_{n + 1}^n{x^n} + C_{n + 1}^{n + 1}{x^{n + 1}}\)

Suy ra

\({\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = \left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)  ( {C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1x + C_{n + 1}^2{x^2} + ... + C_{n + 1}^{n + 1}{x^{n + 1}}} ) \)

Đồng nhất hệ số của \({x^n}\) ta được:

\(C_n^0.C_{n + 1}^n + C_n^1.C_{n + 1}^{n - 1} + C_n^2.C_{n + 1}^{n - 2} + ... + C_n^{n - 1}.C_{n + 1}^1 + C_n^n.C_{n + 1}^0 = C_{2n + 1}^n\)

Với \(n = 9\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{19}^9 = 92378\)

Với \(n = 8\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{17}^8 = 24310\)

Với \(n = 7\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{15}^7 = 6435\)

Với \(n = 6\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{13}^6 = 1716\)

Ta có:  $kC_n^k = k.\dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \dfrac{{n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left[ {n - 1 - \left( {k - 1} \right)} \right]!}} = n.C_{n - 1}^{k - 1}\,\,\,\left( * \right)$

Áp dụng tính chất (*) ta có: \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với \(1 \le k \le n\)

Khi đó: \(S = nC_{n - 1}^0 + nC_{n - 1}^1 + ... + nC_{n - 1}^{n - 1} = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right)\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{n - 1}} = C_{n - 1}^0{a^{n - 1}} + C_{n - 1}^1{a^{n - 2}}b + C_{n - 1}^2{a^{n - 3}}{b^2} + ... + C_{n - 1}^{n - 2}a{b^{n - 2}} + C_{n - 1}^{n - 1}{b^{n - 1}}\)

Thay \(a = 1,b = 1\) ta có: \(C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 1} = {(1 + 1)^{n - 1}} = {2^{n - 1}}\)

Vậy \(S = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right) = n{.2^{n - 1}}\)