Cho phương trình: \(ax + by + c = 0\;\left( 1 \right)\) với \({a^2} + {b^2} > 0\). Mệnh đề nào sau đây sai?
+ Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) nên A đúng.
+ Nếu \(a = 0\) thì \(by + c = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{c}{b}\) nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với \(Ox\left( {y = 0} \right)\) nên B đúng.
+ Nếu \(b = 0\) thì \(ax + c = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{c}{a}\) nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với \(Oy\left( {x = 0} \right)\) nên C đúng.
+ Ta có điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( 1 \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\) nên D sai.
Mệnh đề nào sau đây sai? Đường thẳng \(\left( d \right)\) được xác định khi biết.
Nếu chỉ có vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương thì thiếu điểm đi qua để viết phương trình đường thẳng.
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 15 = 0\) và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right..$
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:6x - 5y + 15 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {6; - 5} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {5;6} \right)\end{array} \right. \to {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \varphi = {90^ \circ }.\)
Cho tam giác \(ABC\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
- Vì \(BC \bot AH\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là một véc tơ pháp tuyến của \(AH\) nên A đúng.
- Véc tơ \(\overrightarrow {BC} \) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\) nên B đúng.
- Không phải lúc nào các đường thẳng cũng có hệ số góc, vẫn xảy ra các trường hợp một trong ba đường thẳng đó không có hệ số góc nên C sai.
- Đường trung trực của \(AB\) vuông góc với \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTPT.
Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\).
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 5} \right)\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\Delta \) được tính bằng công thức:
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\dfrac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
Cho đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0\). Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của $\left( d \right)$ ?
Ta có \(\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0\) thì có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right) \), khi đó nó cũng nhận $-2\overrightarrow n=\left( { - 4; - 6} \right)$ làm VTPT.
Cho đường thẳng \(\left( d \right):3x - 7y + 15 = 0\). Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án A : \(\overrightarrow n = \left( {3; - 7} \right)\) là VTPT của \(d\) nên \(\overrightarrow u = \left( {7;3} \right)\) là VTCP của \(d\)
Đáp án B : \(\left( d \right):3x - 7y + 15 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{7}x + \dfrac{{15}}{7}\) nên có hệ số góc \(k = \dfrac{3}{7}\)
Đáp án C : Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc \(d\) vì \(3.0 - 7.0 + 15 \ne 0\)
Đáp án D : Giả sử $N\left( {5;0} \right) \in d:3x - 7y + 15 = 0 \Rightarrow 3.5 - 7.0 + 15 = 0\left( {vl} \right)$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có $A\left( {1;2} \right),$ $B\left( {0;3} \right)$ và $C\left( {4;0} \right)$. Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh \(A\) bằng:
$\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;2} \right)\\B\left( {0;3} \right),\,\,C\left( {4;0} \right) \end{array} \right.\\\to BC:3(x-0) + 4(y - 3) =3x+4y-12= 0\\ \to {h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 8 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \dfrac{1}{5}.$
Cho $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.$ điểm nào sau đây thuộc $d$?
Thay $x = - 1;y = - 3$ vào phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\ - 3 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3\end{array} \right. (VN)$
$\Rightarrow ( - 1; - 3)$ không thuộc đường thẳng $d$ .
Thay $x = - 1;y = 2$ vào phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\2 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.(VN) $
$\Rightarrow ( - 1;2)$ không thuộc đường thẳng \(d\).
Thay \(x=2; y=1\) vào phương trình đường thẳng d $\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 - t\\1 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 1\end{array} \right.\Rightarrow t=-1 $
$\Rightarrow (2;1)$ thuộc đường thẳng \(d\).
Cho $2$ đường thẳng : ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$ ; ${d_2}:\dfrac{{x + 3}}{3} = \dfrac{y}{1}$. Toạ độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là :
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\), khi đó \(M \in {d_1}\) nên tọa độ của \(M\) thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$
Thay vào ${d_2}$ ta có: $\dfrac{{ - 1 + 3t + 3}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1} $ $\Rightarrow \dfrac{{3t + 2}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $ \Rightarrow 3t + 2 = 6t + 3$ $ \Rightarrow 3t = - 1 $ $\Rightarrow t = \dfrac{{ - 1}}{3}$
Giao điểm của hai đường thẳng là $\left( { - 2;\dfrac{1}{3}} \right)$
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \).
$d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 $ $ \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1} $ $ \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):mx + y = m + 1\,\,,\left( {{d_2}} \right):x + my = 2\,\) cắt nhau khi và chỉ khi :
Ta có:
\({d_1}\) cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} \ne 0\\ \Leftrightarrow m.m - 1.1 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\end{array}\)
Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\): \(3x - 2y - 7 = 0\) cắt đường thẳng nào sau đây?
Ta thấy \(\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}\) nên hai đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) và \(\left( {{d_1}} \right)\) cắt nhau.
Lập phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua $M\left( {2;7} \right)$ và cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1.$
+) TH1: \(\left( \Delta \right)\) không có hệ số góc, khi đó phương trình \(\left( \Delta \right)\) có dạng \(x = c\) hay \(x - c = 0\).
\(\left( \Delta \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;7} \right)\) nên \(2 - c = 0 \Leftrightarrow c = 2\) \( \Rightarrow \left( \Delta \right):x - 2 = 0\).
Khi đó \(d\left( {N,\left( \Delta \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 1\) (thỏa mãn).
Do đó ta có đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0\).
+) TH2: \(\left( \Delta \right)\) có hệ số góc.
PTĐT $\left( \Delta \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$ và có hệ số góc $k$ có dạng là:
$y - 7 = k\left( {x - 2} \right)$\( \Leftrightarrow \)\(kx - y + 7 - 2k = 0\)
Vì $\left( \Delta \right)$ cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1$ nên:
Ta có: $d(N, ∆) =1$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{|k.1 - 2 + 7 - 2.k|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{| - k + 5|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {( - k + 5)^2} = {(\sqrt {{k^2} + 1} )^2}\\ \Leftrightarrow {k^2} - 10k + 25 = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{{12}}{5}\end{array}$
Do đó ta có phương trình $\left( \Delta _2 \right)$ là: \(\dfrac{{12}}{5}x - y + 7 - 2.\dfrac{{12}}{5} = 0 \) \(\Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0\)
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là \(\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0\) và \(\left( \Delta _2 \right):12x - 5y + 11 = 0\).
Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng \(\left( d \right):\,y = 2x - 1\)?
Ta có \(\left( d \right):\,y = 2x - 1 \Rightarrow \left( d \right):2x - y - 1 = 0\).
Xét từng đáp án ta thấy:
Đáp án A: \(\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{5}\) nên hai đường thẳng song song.
Đáp án B: \(\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 5}}\) nên hai đường thẳng song song.
Đáp án C: \(\dfrac{{ - 2}}{2} = \dfrac{1}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}\) nên hai đường thẳng song song.
Đáp án D: \(\dfrac{2}{2} \ne \dfrac{{ - 1}}{1}\) nên đường thẳng ở đáp án D không song song với \(d\).
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):mx + y = m + 1\,\,,\left( {{d_2}} \right):x + my = 2\,\)song song nhau khi và chỉ khi
+) Nếu \(m = 0\) thì \({d_1}:y = 1,{d_2}:x = 2\) cắt nhau tại \(\left( {2;1} \right)\).
+) Nếu \(m \ne 0\) thì \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m}\\\dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\1.2 \ne m\left( {m + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 1\\{m^2} + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 1\\m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m = - 1\end{array}\)
Cho \(d:x + 3y - 6 = 0;d':3x + y + 2 = 0.\) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $d$ và $d'$
Vì: \(\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{3}{1}\) nên $d$ cắt $d'$
Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $d$ và $d'$ là:
\(\dfrac{{x + 3y - 6}}{{\sqrt {10} }} = \pm \dfrac{{3x + y + 2}}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 6 = 3x + y + 2}\\{x + 3y - 6 = - \left( {3x + y + 2} \right)}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 4 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array}} \right.\)
Cho hai đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):11x - 12y + 1 = 0\) và \(\left( {{\Delta _2}} \right):12x + 11y + 9 = 0\). Khi đó hai đường thẳng này
Ta có: \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {11; - 12} \right)\); \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {12;11} \right)\).
Xét \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 11.12 - 12.11 = 0\) \( \Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right)\)
Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng sau đây vuông góc \(\left( {{\Delta _1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \left( {{m^2} + 1} \right)t\\y = 2 - mt\end{array} \right.\) và \(\left( {{\Delta _2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t'\\y = 1 - 4mt'\end{array} \right.\)
\(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{m^2} + 1; - m} \right)\); \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3; - 4m} \right)\)
\(\left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow - 3\left( {{m^2} + 1} \right) + 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \)
