Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

+ Phương trình $\left( 1 \right)$ là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ nên A đúng.

+ Nếu $a = 0$ thì $by + c = 0 \Leftrightarrow y =  - \dfrac{c}{b}$ nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với $Ox\left( {y = 0} \right)$ nên B đúng.

+ Nếu $b = 0$ thì $ax + c = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{c}{a}$ nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với $Oy\left( {x = 0} \right)$ nên C đúng.

+ Ta có điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( 1 \right)$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} + c = 0$ nên D sai.

Nếu chỉ có vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương thì thiếu điểm đi qua để viết phương trình đường thẳng.

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:6x - 5y + 15 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {6; - 5} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {5;6} \right)\end{array} \right. \to {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \varphi  = {90^ \circ }.$

- Vì $BC \bot AH$ nên $\overrightarrow {BC}$ là một véc tơ pháp tuyến của $AH$ nên A đúng.

- Véc tơ $\overrightarrow {BC}$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ nên B đúng.

- Không phải lúc nào các đường thẳng cũng có hệ số góc, vẫn xảy ra các trường hợp một trong ba đường thẳng đó không có hệ số góc nên C sai.

- Đường trung trực của $AB$ vuông góc với $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)$.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

$d\left( {M,\Delta } \right) = \,\dfrac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$

Ta có $\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0$ thì có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right)$, khi đó nó cũng nhận $-2\overrightarrow n=\left( { - 4; - 6} \right)$ làm VTPT.

Đáp án A : $\overrightarrow n  = \left( {3; - 7} \right)$ là VTPT của $d$ nên $\overrightarrow u  = \left( {7;3} \right)$ là VTCP của $d$

Đáp án B : $\left( d \right):3x - 7y + 15 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{7}x + \dfrac{{15}}{7}$ nên có hệ số góc $k = \dfrac{3}{7}$

Đáp án C : Điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc $d$ vì $3.0 - 7.0 + 15 \ne 0$

Đáp án D : Giả sử $N\left( {5;0} \right) \in d:3x - 7y + 15 = 0 \Rightarrow 3.5 - 7.0 + 15 = 0\left( {vl} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;2} \right)\\B\left( {0;3} \right),\,\,C\left( {4;0} \right) \end{array} \right.\\\to BC:3(x-0) + 4(y - 3) =3x+4y-12= 0\\ \to {h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 8 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \dfrac{1}{5}.$

Thay $x =  - 1;y =  - 3$  vào phương trình đường thẳng  $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\ - 3 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - 3\end{array} \right. (VN)$

$\Rightarrow ( - 1; - 3)$ không thuộc đường thẳng $d$ .

Thay $x =  - 1;y = 2$  vào phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\2 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.(VN)$

$\Rightarrow ( - 1;2)$ không thuộc đường thẳng $d$.

Thay $x=2; y=1$ vào phương trình đường thẳng d $\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 - t\\1 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right.\Rightarrow t=-1$

$\Rightarrow (2;1)$ thuộc đường thẳng $d$.

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$, khi đó $M \in {d_1}$ nên tọa độ của $M$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$

 Thay vào ${d_2}$  ta có: $\dfrac{{ - 1 + 3t + 3}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $\Rightarrow \dfrac{{3t + 2}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $\Rightarrow 3t + 2 = 6t + 3$ $\Rightarrow 3t =  - 1$ $\Rightarrow t = \dfrac{{ - 1}}{3}$

Giao điểm của hai đường thẳng là $\left( { - 2;\dfrac{1}{3}} \right)$

$d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5$ $\Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1}$ $\Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$

Ta có:

${d_1}$ cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} \ne 0\\ \Leftrightarrow m.m - 1.1 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\end{array}$

Ta thấy $\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}$ nên hai đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ và $\left( {{d_1}} \right)$ cắt nhau.

+) TH1: $\left( \Delta  \right)$ không có hệ số góc, khi đó phương trình $\left( \Delta  \right)$ có dạng $x = c$ hay $x - c = 0$.

$\left( \Delta  \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$ nên $2 - c = 0 \Leftrightarrow c = 2$ $\Rightarrow \left( \Delta  \right):x - 2 = 0$.

Khi đó $d\left( {N,\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 1$ (thỏa mãn).

Do đó ta có đường thẳng $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0$.

+) TH2: $\left( \Delta  \right)$ có hệ số góc.

PTĐT $\left( \Delta  \right)$  đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$  và có hệ số góc $k$  có dạng là:

$y - 7 = k\left( {x - 2} \right)$$\Leftrightarrow$$kx - y + 7 - 2k = 0$

Vì $\left( \Delta  \right)$ cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1$  nên:

Ta có: $d(N, ∆) =1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{|k.1 - 2 + 7 - 2.k|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{| - k + 5|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {( - k + 5)^2} = {(\sqrt {{k^2} + 1} )^2}\\ \Leftrightarrow {k^2} - 10k + 25 = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{{12}}{5}\end{array}$

Do đó ta có phương trình $\left( \Delta _2 \right)$ là: $\dfrac{{12}}{5}x - y + 7 - 2.\dfrac{{12}}{5} = 0$ $\Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0$

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0$ và $\left( \Delta _2 \right):12x - 5y + 11 = 0$.

Ta có $\left( d \right):\,y = 2x - 1 \Rightarrow \left( d \right):2x - y - 1 = 0$.

Xét từng đáp án ta thấy:

Đáp án A: $\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{5}$ nên hai đường thẳng song song.

Đáp án B: $\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 5}}$ nên hai đường thẳng song song.

Đáp án C: $\dfrac{{ - 2}}{2} = \dfrac{1}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}$ nên hai đường thẳng song song.

Đáp án D: $\dfrac{2}{2} \ne \dfrac{{ - 1}}{1}$ nên đường thẳng ở đáp án D không song song với $d$.

+) Nếu $m = 0$ thì ${d_1}:y = 1,{d_2}:x = 2$ cắt nhau tại $\left( {2;1} \right)$.

+) Nếu $m \ne 0$ thì ${d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m}\\\dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\1.2 \ne m\left( {m + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\{m^2} + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m =  - 1\end{array}$

Vì: $\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{3}{1}$ nên $d$  cắt $d'$

 Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $d$ và $d'$ là:

$\dfrac{{x + 3y - 6}}{{\sqrt {10} }} =  \pm \dfrac{{3x + y + 2}}{{\sqrt {10} }}$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 6 = 3x + y + 2}\\{x + 3y - 6 =  - \left( {3x + y + 2} \right)}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 4 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array}} \right.$

Ta có: $\left( {{\Delta _1}} \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {11; - 12} \right)$; $\left( {{\Delta _2}} \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {12;11} \right)$.

Xét $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 11.12 - 12.11 = 0$ $\Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right)$

$\left( {{\Delta _1}} \right)$ có $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{m^2} + 1; - m} \right)$; $\left( {{\Delta _2}} \right)$ có $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3; - 4m} \right)$

 $\left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow  - 3\left( {{m^2} + 1} \right) + 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3$