Mệnh đề phần 1

Một mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.

+ Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai, một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng.

+ Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Từ định nghĩa mệnh đề ta thấy: Một mệnh đề là một khẳng định có tính đúng sai, nghĩa là ta có thể xét được sự đúng, sai của nó.

Dễ thấy các mệnh đề ở mỗi đáp án B, C, D đều sai.

Mệnh đề ở đáp án A đúng.

Đáp án A: Hai tam giác có diện tích bằng nhau chưa chắc bằng nhau nên A sai.

Ví dụ:

Hai tam giác ABC và DEF đều có diện tích bằng 6 nhưng 2 tam giác này không bằng nhau.

Đáp án B: Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau nên B đúng.

Đáp án C: Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều nên có ba góc bằng nhau nên C đúng.

Tương tự đáp án D cũng là tam giác đều nên D đúng.

Câu hỏi không phải mệnh đề nên đáp án A sai.

Phát biểu 1 là mệnh đề vì ta có thể xét tính đúng sai của nó, cụ thể mệnh đề này sai.

Phát biểu 2 và 3 không là mệnh đề vì chúng là các câu hỏi, cảm thán nên không xét được tính đúng sai của chúng.

Cho mệnh đề \(Q\), khi đó mệnh đề “Không phải \(Q\)” được gọi là mệnh đề phủ định của \(Q\).

Vì \(P\) là phủ định của \(Q\) nên \(Q = \overline P \) và \(P = \overline Q \).

Vì \(\overline{\overline P} \) là mệnh đề phủ định của \(\overline P \)

Mà \(\overline P \) là mệnh đề phủ định của \(P \) $=>$ \(P \) cũng là mệnh đề phủ định của \(\overline P \)

 $=>$ $P$ và \(\overline{\overline P} \) cùng là mệnh đề phủ định của \(\overline P \).

Vậy \(P = \overline{\overline P} \).

Phủ định của mệnh đề “\(9\) không phải số nguyên tố” là: “\(9\) là số nguyên tố”.

(1) “\(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ” là mệnh đề sai nên phủ định của nó là một mệnh đề đúng.

(2) “\(5\) không chia hết cho \(3\)” là mệnh đề đúng nên phủ định của nó là mệnh đề sai.

(3) “Tam giác có tổng số đo các góc bằng \({180^0}\)” là mệnh đề đúng nên phủ định của nó là mệnh đề sai.

(4) “Hình vuông có bốn góc bằng nhau” là mệnh đề đúng nên mệnh đề phủ định của nó là sai.

Vậy chỉ có \(1\) mệnh đề mà phủ định của nó là mệnh đề đúng.

Mệnh đề \(P\) kéo theo \(Q\) kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\).

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng, \(Q\) sai.

Dễ thấy mệnh đề \(P\): “\(35\) là số có hai chữ số” là mệnh đề đúng nên ta chỉ cần tìm mệnh đề sai trong các đáp án.

Từ các đáp án bài cho ta thấy chỉ có mệnh đề \(Q\): “\(4\) là số nguyên tố” là mệnh đề sai.

Vì mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng, \(Q\) sai nên:

+) Nếu \(P\) đúng, \(Q\) đúng thì \(P \Rightarrow Q\) đúng, do đó A sai.

+) Nếu \(P\) sai thì \(P \Rightarrow Q\) luôn đúng nên B đúng.

+) Nếu \(P\) đúng thì \(P \Rightarrow Q\) sẽ sai khi \(Q\) sai nên nó không thể luôn đúng được, do đó C sai.

+) Nếu \(Q\) sai thì \(P \Rightarrow Q\) vẫn có thể đúng nếu \(P\) sai, do đó nó không thể luôn sai được, nên D sai.

Mệnh đề \(P\): “Ba số tự nhiên là ba số tự nhiên liên tiếp”.

Mệnh đề \(Q\): “Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho \(3\)”.

Khi đó, \(Q \Rightarrow P\) được phát biểu là:

“Nếu ba số tự nhiên có tổng chia hết cho \(3\) thì ba số tự nhiên đó là ba số tự nhiên liên tiếp”.

Nói gọn: “Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho \(3\) thì liên tiếp”.

Xét \(P\): “\({3^2} + 1\) là số chẵn”.

\(Q\): “\(3\) là số lẻ”.

Vì cả \(P,Q\) đều là các mệnh đề đúng nên các mệnh đề \(P \Rightarrow Q,Q \Rightarrow P\) đều đúng.

Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(3\) thì số nguyên \(n\) có tổng các chữ số bằng \(9\)”.

Mệnh đề này sai, chẳng hạn số 12 chia hết cho 3 nhưng có tổng các chữ số bằng 3 chứ không bằng 9.

Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu \({x^2} > {y^2}\) thì \(x > y\)” sai vì \({x^2} > {y^2} \Leftrightarrow \left| x \right| > \left| y \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > y\\x <  - y\end{array} \right.\).

Chẳng hạn \((-3)^2>2^2\) nhưng \(-3 < 2\)

Xét mệnh đề đảo của đáp án C: “Nếu \(t.x = t.y\) thì \(x = y\)” sai với \(t = 0 \Rightarrow x,\,y \in \mathbb{R}.\)

Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) chỉ đúng khi cả \(P\) và \(Q\) đều cùng đúng hoặc cùng sai.

Lý thuyết tính đúng sai của mệnh đề tương đương:

Mệnh đề tương đương \(P \Leftrightarrow Q\) chỉ đúng khi \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) cùng đúng nên nếu \(P \Leftrightarrow Q\) đúng thì \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) cùng đúng.

Do đó A,B sai.

Đáp án C sai vì nếu \(P \Leftrightarrow Q\) sai thì có thể một trong hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) sai chứ không chắc cả hai mệnh đề đều sai.

Mệnh đề \(\left( 1 \right)\):

“\(\sqrt 3 \) là số vô tỉ nếu và chỉ nếu \(3\) là số hữu tỉ” đúng vì cả hai mệnh đề “\(\sqrt 3 \) là số vô tỉ” và “\(3\) là số hữu tỉ” đều đúng.

Mệnh đề $(1)$ đúng.

Mệnh đề (2): “Tứ giác là hình bình hành nếu và chỉ nếu nó là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau” sai vì

Mệnh đề “Nếu tứ giác là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình bình hành” là sai, có thể xảy ra trường hợp nó là hình thang cân.

Mệnh đề $(2)$ sai.

Mệnh đề (3): “Tứ giác là hình thoi nếu và chỉ nếu nó là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau” đúng vì cả hai mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo có được từ mệnh đề tương đương trên đều đúng.

Mệnh đề $(3)$ đúng.

Mệnh đề (4) “\(3 > 4\) khi và chỉ khi \(1 > 2\)” đúng vì cả hai mệnh đề “\(3 > 4\)” và “\(1 > 2\)” đều sai.

Mệnh đề $(4)$ đúng.

Vậy có \(3\) mệnh đề đúng và $1$ mệnh đề sai.