Bài tập cuối chương X

Để đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ ta có $6$ con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ ta có $7$ cách đi từ thành phố $B$ đến thành phố $C.$

Vậy có $6.7 = 42$ cách đi từ thành phố A đến B.

Ta có $C_{2020}^{1010}$ cách chọn $1010$ vị trí trong $2020$ lần tung đồng xu để mặt xấp xuất hiện, các lần tung còn lại không xuất hiện mặt sấp. Ứng với mỗi cách chọn cố định 1010 vị trí xuất hiện mặt xấp ta có xác suất của trường hợp đó tính như sau:

+) Tại những lần mặt xấp xuất hiện thì xác suất xảy ra là $0,6$.

+) Tại những lần mặt ngửa xuất hiện thì xác suất xảy ra là $1 - 0,6$.

Do có $1010$ lần xuất hiện mặt sấp và $1010$ xuất hiện mặt ngửa nên ứng với mỗi cách chọn cố định 1010 vị trí xuất hiện mặt xấp thì có xác xuất là ${0,6^{1010}}{\left( {1 - 0,6} \right)^{1010}} = {\left( {0,24} \right)^{1010}}$.

Vậy xác xuất cần tính là $C_{2020}^{1010}.{\left( {0,24} \right)^{1010}}$.

Đặt $y = 23$, xét các số $x = \overline {abcde}$ trong đó $a,b,c,d,e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\left\{ {0,1,y,4,5} \right\}$. Có ${P_5} - {P_4} = 96$ số như vậy

Khi ta hoán vị $2,3$ trong $y$ ta được hai số khác nhau

Nên có $96.2 = 192$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu chọn chữ số $1$ làm hàng trăm thì ta có các số sau:

$123,124,126,134,136,146,$$132,142,162,143,163,164$

Từ đó ta thấy chữ số $1$ ở hàng trăm xuất hiện $12$ lần, các chữ số $2,3,4,6$ ở hàng chục xuất hiện $3$ lần và ở hàng đơn vị cũng xuất hiện $3$ lần.

Tổng các số này là: $12.100 + 3.\left( {20 + 30 + 40 + 60} \right) + 3.\left( {2 + 3 + 4 + 6} \right) = 1695$

Nếu chọn chữ số $2$ làm hàng trăm thì ta có tổng là:

$12.200 + 3.\left( {10 + 30 + 40 + 60} \right) + 3.\left( {1 + 3 + 4 + 6} \right) = 2862$

Nếu chọn chữ số $3$ làm hàng trăm thì ta có tổng là:

$12.300 + 3.\left( {10 + 20 + 40 + 60} \right) + 3.\left( {1 + 2 + 4 + 6} \right) = 4029$

Nếu chọn chữ số $4$ làm hàng trăm thì ta có tổng là:

$12.400 + 3.\left( {10 + 20 + 30 + 60} \right) + 3.\left( {1 + 2 + 3 + 6} \right) = 5196$

Nếu chọn chữ số $6$ làm hàng trăm thì ta có tổng là:

$12.600 + 3.\left( {10 + 20 + 30 + 40} \right) + 3.\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right) = 7530$

Vậy, tổng các số lập được là

$S = 1695 + 2862 + 4128 + 5196 + 7530$$= 21312$.

Gọi $x = \overline {abcd} ;{\rm{ }}a,b,c,d \in \left\{ {0,1,2,4,5,6,8} \right\}$.

Vì $x$ là số chẵn nên $d \in \left\{ {0,2,4,6,8} \right\}$.

TH 1: $d = 0 \Rightarrow$ có $1$ cách chọn $d$.

Với mỗi cách chọn $d$ ta có $6$ cách chọn $a \in \left\{ {1,2,4,5,6,8} \right\}$

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có $5$ cách chọn $b \in \left\{ {1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ a \right\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ {1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ {a,b} \right\}$

Suy ra trong trường hợp này có $1.6.5.4 = 120$ số.

TH 2: $d \ne 0 \Rightarrow d \in \left\{ {2,4,6,8} \right\} \Rightarrow$ có $4$ cách chọn $d$

Với mỗi cách chọn $d$, do $a \ne 0$ nên ta có $5$ cách chọn

$a \in \left\{ {1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ d \right\}$.

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có $5$ cách chọn $b \in \left\{ {0,1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ a,d \right\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ {0,1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ {a,b,d} \right\}$

Suy ra trong trường hợp này có $4.5.5.4 = 400$ số.

Vậy có tất cả $120 + 400 = 520$ số cần lập.

Giả sử tập con bất kì $\left\{ {a,b,c} \right\} \in S$$\Rightarrow 1 \le a,b,c \le 100$ ;$a,b,c$ phân biệt.

$a + b + c = 91.$

Số bộ $a,b,c$ là $C_{91 - 1}^{3 - 1}$

Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 số giống nhau, số bộ có 2 số giống nhau là $3.45 = 135$ (bộ). ( Không có bộ nào có 3 số giống nhau vì $a + b + c = 91$)

Vậy $n\left( \Omega  \right) = \left( {C_{90}^2 - 3.45} \right):3! = 645$.

Gọi $A$ là biến cố: ”$a,b,c$ lập thành cấp số nhân”

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có $q > 0$

$a + aq + a{q^2} = 91$$\Leftrightarrow a\left( {1 + q + {q^2}} \right) =91$

$\Leftrightarrow {q^2} + q + 1 - \dfrac{{91}}{a} = 0$

Thử $a = 1,2,..,91$ và bấm máy tính tìm $q$ ta được các trường hợp sau:

+) $a = 1,q = 9$ nên bộ ba số là $1;9;81$.

+) $a = 7,q = 3$ nên bộ ba số là $7;21;63$.

+) $a = 13,q = 2$ nên bộ ba số là $13;26;52$.

+) $a = 25,q = \dfrac{6}{5}$ nên bộ ba số là $25;30;36$.

Vậy có bốn bộ số thỏa mãn.

$P\left( A \right) = \dfrac{4}{{645}}$.

Gọi số tự nhiên thỏa mãn bài toán có dạng $\overline {abcdefg}$.

Xét trường hợp có cả chữ số $0$ đứng đầu.

Số cách chọn vị trí cho chữ số $2$ là $C_7^2$.

Số cách chọn vị trí cho chữ số $3$ là $C_5^3$.

Số cách chọn $2$ chữ số còn lại trong tập hợp $\left\{ {0;1;4;5;6;7;8;9} \right\}$ để xếp vào hai vị trí cuối là $A_8^2$.

Do đó có $C_7^2.C_5^3.A_8^2 = 11760$ số.

Xét trường hợp chữ số $0$ đứng đầu.

$a = 0$ nên có $1$ cách chọn.

Số cách chọn vị trí cho chữ số $2$ là $C_6^2$.

Số cách chọn vị trí cho chữ số $3$ là $C_4^3$.

Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp $\left\{ {1;4;5;6;7;8;9} \right\}$ là $7$ cách.

Do đó có $1.C_6^2.C_4^3.7 = 420$ số.

Vậy có $11760 - 420 = 11340$ số.

Mô tả không gian mẫu ta có: $\Omega  = \left\{ {S1;\,S2;\,S3;\,S4;\,S5;S6;} \right.\left. {N1;N2;N3;N4;N5;N6} \right\}$

Cặp biến cố không đối nhau là $E = \left\{ {1,\,4,\,6} \right\}$ và $F = \left\{ {2,\,3} \right\}$ do $E \cap F = \emptyset$ và $E \cup F \ne \Omega$.

Số trường hợp xuất hiện mặt sấp $3$ lần là $C_5^3 = 10$

Số trường hợp xuất hiện mặt sấp $4$ lần là $C_5^4 = 5$

Số trường hợp xuất hiện mặt sấp $5$ lần là $C_5^5 = 1$

Vậy số phần tử của biến cố  $C:$ “ Số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa” là:

$10 + 5 + 1 = 16$

Từ $1$ đến $100$ có $33$ số chia hết cho $3.$  Do đó có $67$ tấm thẻ không chia hết cho $3$

Vậy, số cách chọn $5$ tấm thẻ mà không có tấm thẻ nào ghi số chia hết cho $3$ là số cách chọn $5$ trong $67$ tấm thẻ: $C_{67}^5$ (cách)

Vậy $n(B) = C_{100}^5 - C_{67}^5$.

$n\left( \Omega  \right) = {2^5} = 32$.

$A:$ “được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp”.

Xét biến cố đối $\bar A$: “không có đồng tiền nào xuất hiện mặt sấp”.

$\bar A = \left\{ {\left( {N,N,N,N,N} \right)} \right\}$, có $n\left( {\bar A} \right) = 1$ suy ra $P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{1}{{32}}$.

KL: $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{31}}{{32}}$.

Số phần tử không gian mẫu:$n\left( \Omega  \right) = 6.6.6.6.6 = {6^5}$

Bộ kết quả của $3$ lần gieo thỏa yêu cầu là:

$\begin{array}{l}\left( {1;1;2} \right);\left( {1;2;3} \right);\left( {2;1;3} \right);\left( {1;3;4} \right);\left( {3;1;4} \right);\left( {2;2;4} \right);\\\left( {1;4;5} \right);\left( {4;1;5} \right);\left( {2;3;5} \right);\left( {3;2;5} \right);\left( {1;5;6} \right);\left( {5;1;6} \right);\\\left( {2;4;6} \right);\left( {4;2;6} \right);\left( {3;3;6} \right)\end{array}$

Nên $n\left( A \right) = 15.6.6$.

Suy ra $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{15.6.6}}{{{6^5}}} = \dfrac{{15}}{{216}}$.

Ta có $n\left( \Omega  \right) = 6.6.6.6.6.6 = {6^6}.$

Có các trường hợp sau:

Số bằng $5$ xuất hiện đúng $5$ lần, lần còn lại xuất hiện $1$ trong $5$ số $1,2,3,4,6$

$\Rightarrow$ có $C_6^5.C_5^1 = 30$ kết quả thuận lợi.

Số bằng $5$ xuất hiện đúng $6$ lần $\Rightarrow$ có $1$ kết quả thuận lợi.

Số bằng $6$ xuất hiện đúng $5$ lần, lần còn lại xuất hiện $1$ trong $5$ số $1,2,3,4,5$

$\Rightarrow$ có $C_6^5.C_5^1 = 30$ kết quả thuận lợi.

Số bằng $6$ xuất hiện đúng $6$ lần $\Rightarrow$ có $1$ kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất để được một số lớn hơn hay bằng $5$ xuất hiện ít nhất $5$ lần là

$P = \dfrac{{30 + 1 + 30 + 1}}{{{6^6}}} = \dfrac{{31}}{{23328}}.$

Phép thử: Lấy ngẫu nhiên ba quả cầu

Ta có $n\left( \Omega  \right) = C_{12}^3 = 220$

Biến cố $A$ : Lấy được ba qua cầu khác màu

$n\left( A \right) = 5.4.3 = 60$

$\Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{3}{{11}}$.

Gọi $A$ là biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”. Có hai trường hợp xảy ra

Trường hợp 1. Lấy lần thứ nhất được bi xanh, lấy lần thứ hai cũng được một bi xanh. Xác suất trong trường hợp này là ${P_1} = \dfrac{5}{8}.\dfrac{4}{7} = \dfrac{5}{{14}}.$

Trường hợp 2. Lấy lần thứ nhất được bi đỏ, lấy lần thứ hai được bi xanh. Xác suất trong trường hợp này là ${P_2} = \dfrac{3}{8}.\dfrac{5}{7} = \dfrac{{15}}{{56}}.$

Vậy $P\left( A \right) = {P_1} + {P_2} = \dfrac{5}{{14}} + \dfrac{{15}}{{56}} = \dfrac{{35}}{{56}} = \dfrac{5}{8}.$

Gọi $X$ là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “

Gọi $A$ là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “

=>$P\left( A \right) = \dfrac{{C_4^1}}{{C_9^1}} = \dfrac{4}{9}.$

Gọi $B$ là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp $II$ “$P\left( B \right) = \dfrac{3}{{10}}.$

Ta thấy biến cố $A, B$ là $2$ biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left( X \right) = P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{2}{{15}}.$

Gọi $A$ là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số $0,1,2,3,4,5,6$ số cách chọn được $A$ là $A_3^2 = 6$. Số chẵn có $5$ chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa $A$ và ba trong $4$ chữ số $0;2;4;6.$ Gọi $\overline {abcd} ;a,b,c,d \in \{ A,0,2,4,6\}$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH1: Nếu $a = A$ có $1$ cách chọn $a$ và $A_4^3$ cách chọn $b,c,d$.

* TH2: $a \ne A$ có $3$ cách chọn $a$

+ Nếu $b = A$ có $1$ cách chọn $b$ và $A_3^2$ cách chọn $c,d$.

+ Nếu $c = A$ có $1$ cách chọn $c$ và $A_3^2$ cách chọn $b,d$.

Vậy có $A_3^2\left( {A_4^3 + 3\left( {1.A_3^2 + 1.A_3^2} \right)} \right) = 360$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có các trường hợp sau

TH 1: Đề thi gồm $2 D, 2 TB, 1 K:$ $C_{15}^2.C_{10}^2.C_5^1$

TH 2: Đề thi gồm $2 D, 1 TB, 2 K:$ $C_{15}^2.C_{10}^1.C_5^2$

TH 3: Đề thi gồm $3 D, 1 TB, 1 K:$ $C_{15}^3.C_{10}^1.C_5^1$

Vậy có: $C_{15}^2.C_{10}^2.C_5^1+C_{15}^2.C_{10}^1.C_5^2+C_{15}^3.C_{10}^1.C_5^1=56875$ đề kiểm tra.

Xác suất lấy được $1$ hộp bi trong $3$ hộp bi là: $\dfrac{1}{3}$

Xác suất lấy được $1$ bi đỏ trong hộp $A$ là $\dfrac{{C_3^1}}{{C_8^1}} = \dfrac{3}{8}$

Xác suất lấy được $1$ bi đỏ trong hộp $B$ là $\dfrac{{C_2^1}}{{C_4^1}} = \dfrac{1}{2}$

Xác suất lấy được $1$ bi đỏ trong hộp $C$ là $\dfrac{{C_2^1}}{{C_5^1}} = \dfrac{2}{5}$

Xác suất để lấy được $1$ bi đỏ là: $\dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}} \right) = \dfrac{{17}}{{40}}$