Bài tập cuối chương VII

Điều kiện : $x >  - 2$ .

$2x + \dfrac{2}{{\sqrt {x + 2} }} =  - {x^2} + \dfrac{2}{{\sqrt {x + 2} }}$

$\Rightarrow$ $2x =  - {x^2} \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2(loai)\end{array} \right.$ .

Kết hợp với điều kiện ta được $x = 0$ là nghiệm duy nhất.

$\sqrt {2x + m}  = x - 1$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2x + m = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 4x + 1 - m = 0\left( * \right)\end{array} \right.$.

Phương trình có nghiệm duy nhất khi hệ có nghiệm duy nhất.

Xét ${x^2} - 4x + 1 - m = 0$; $\Delta ' = 3 + m$

TH1: $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m =  - 3$ thì (*) có nghiệm kép $x = 2 \ge 1$ (thỏa).

TH2: $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m >  - 3$ thì phương trình có nghiệm duy nhất khi (*) có 2 nghiệm thỏa ${x_1} < 1 < {x_2}$ $\Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0$ $\Leftrightarrow 1 - m - 4 + 1 < 0 \Leftrightarrow m >  - 2$.

Do $m$ không dương nên $m\in \{-1;0\}$

Kết hợp với trường hợp $m=-3$ ở trên ta được $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.

Điều kiện: $x \ge \dfrac{7}{2}$ .

$\sqrt {2x - 7}  = 1$ $\Rightarrow$ $2x - 7 = 1 \Leftrightarrow x = 4$ .

Kết hợp với điều kiện ta được $x = 4$ là nghiệm duy nhất..

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 5 \ge 0}\\{2 - x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{5}{3}\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{3} \le x < 2$.

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 \ge 0}\\{x \ne 0}\\{{x^2} + 3x - 4 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \ne 1\\x \ne 0\\x \ne  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow$ $x \in \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0,1} \right\}$.

Ta có $\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 4 = 4 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.$.

Đặt $t = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x}$

Điều kiện $t = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x}  \ge \sqrt {x + 2 + 2 - x}  = 2 \Rightarrow t \ge 2$

Lại có $\sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x}  \le \sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {x + 2 + 2 - x}  = 2\sqrt 2$ $\Rightarrow t \le 2\sqrt 2$

Suy ra $2 \le t \le 2\sqrt 2$

Ta có: ${t^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {x^2}}$$\Rightarrow 2\sqrt {4 - {x^2}}  = {t^2} - 4$

Phương trình trở thành: $t + {t^2} - 4 - 2m + 3 = 0$$\Leftrightarrow {t^2} + t - 2m - 1 = 0$$\Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = 2m\,\,\,(*)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} + t - 1$ (parabol có hoành độ đỉnh $x =  - \dfrac{1}{2} \notin \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$) trên $\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$, có bảng biến thiên

Phương trình $(*)$ có nghiệm thỏa $2 \le t \le 2\sqrt 2$ khi $5 \le 2m \le 7 + 2\sqrt 2$$\Rightarrow \dfrac{5}{2} \le m \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 2 }}{2}$

$\dfrac{5}{2} \le m \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 2 }}{2}\,$$\to \left( {2,5 \le m \le 4,91} \right)$

Vậy có 2 giá trị $m$ nguyên dương là $m = 3$, $m = 4$.

Điều kiện xác định $x \in \mathbb{R}$.

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}$, $t \ge 1$.

Phương trình trở thành ${t^2} - 1 - 4t - m + 1 = 0$$\Leftrightarrow {t^2} - 4t = m$. $\left( 2 \right)$

Để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} - 4t$ có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh $x = 2 \in \left( {1; + \infty } \right)$ nên ta có bảng biến thiên:

Dựa BBT ta thấy để $(2)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$ thì $- 4 < m <  - 3$.

Vậy không có giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$2\sqrt {x + 1}  = x + m$$\left( 1 \right)$

Phương trình tương đương: $\left\{ \begin{array}{l}x + m \ge 0\\4\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 2mx + {m^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - m\\{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow {\rm{pt}}\left( 2 \right)$có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng $- m$.

$\Delta ' = 8 - 4m$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0$$\Leftrightarrow m \le 2$

Khi đó phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2 - m - \sqrt {8 - 4m} \\{x_2} = 2 - m + \sqrt {8 - 4m} \end{array} \right.$.

Dễ thấy ${x_2} = 2 - m + \sqrt {8 - 4m}  >  - m,\forall m \le 2$ nên $\left( 2 \right)$ luôn có ít nhất $1$ nghiệm $x \ge  - m$ thỏa mãn bài toán.

Vậy $m \le 2$.

$\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Điều kiện: $x < 2.$

$\begin{array}{l}{\rm{PT}} \Leftrightarrow 4 - \left( {2 - x} \right) = 2\sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow 2\sqrt {2 - x}  = 2 + x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 4\left( {2 - x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 8x - 4 = 0\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 4 - 2\sqrt 5 \\x =  - 4 + 2\sqrt 5 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 4 + 2\sqrt 5  \Rightarrow S = \left\{ { - 4 + 2\sqrt 5 } \right\}.\end{array}$

Điều kiện: $x \ge \dfrac{5}{3}$.

$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt {10x + 1}  - \sqrt {9x + 4} } \right) + \left( {\sqrt {3x - 5}  - \sqrt {2x - 2} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10x + 1 - \left( {9x + 4} \right)}}{{\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{{3x - 5 - \left( {2x - 2} \right)}}{{\sqrt {3x - 5}  + \sqrt {2x - 2} }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {3x - 5}  + \sqrt {2x - 2} }}} \right) = 0\end{array}$

Vì $\forall x \ge \dfrac{5}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {3x - 5}  + \sqrt {2x - 2} }} > 0$ nên $\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 3$.

Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3$.

ĐK: $x \ge \dfrac{{ - 7}}{2}$

Ta có $\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = {x^2} - 4$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {2x + 7}  - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7}  = x + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 7 = {\left( {x + 2} \right)^2}\\x \ge  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\2x + 7 = {x^2} + 4x + 4\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow$ Tổng hai nghiệm của phương trình là: $2 + 1 = 3.$