Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(2\sqrt {x + 1}  = x + m\) có nghiệm:

\(2\sqrt {x + 1}  = x + m\)\(\left( 1 \right)\)

Phương trình tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l}x + m \ge 0\\4\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 2mx + {m^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - m\\{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\rm{pt}}\left( 2 \right)\)có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng \( - m\).

\(\Delta ' = 8 - 4m\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \le 2\)

Khi đó phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2 - m - \sqrt {8 - 4m} \\{x_2} = 2 - m + \sqrt {8 - 4m} \end{array} \right.\).

Dễ thấy \({x_2} = 2 - m + \sqrt {8 - 4m}  >  - m,\forall m \le 2\) nên \(\left( 2 \right)\) luôn có ít nhất \(1\) nghiệm \(x \ge  - m\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(m \le 2\).