Tập nghiệm của bất phương trình: $-{x^2} + 6x + 7\; \ge 0\;$là:
Ta có $-{x^2} + 6x + 7\; = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = - 1\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu $-{x^2} + 6x + 7\; \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 7.$
Giải bất phương trình \( - 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0.\)
Ta có $-2{x^2} + 3x - 7\; = 0$ vô nghiệm.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu $ - 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0\, \Leftrightarrow \,x \in \emptyset $.
Cho bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.
Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 8x + 7 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 7\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \(f\left( x \right) \ge 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 7\end{array} \right.\).
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \,\left[ {7; + \infty } \right)\).
Vì \(\dfrac{{13}}{2} \in \left[ {6; + \infty } \right)\) và \(\dfrac{{13}}{2} \notin S\) nên \(\left[ {6; + \infty } \right)\) thỏa yêu cầu bài toán.
Giải bất phương trình $x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)$ ta được nghiệm:
Bất phương trình $x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 2{x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0$
Xét phương trình ${x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right..$
Lập bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 5x + 4 \ge 0$ là $ x \in \left( { - \,\infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \,\infty } \right).$
Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
Đặt $f\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right).$
Phương trình ${x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ và $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2.$
Lập bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy:
+) Đáp án A: $x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2$ và ${x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow x \le 2$ nên hai bất phương trình tương đương. Chọn A.
+) Đáp án B: $x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$ và ${x^2}\left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2$ nên hai bất phương trình không tương đương. Loại B.
+) Đáp án C: $x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$ và ${x^2}\left( {x - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x \ne 0\end{array} \right.$ nên hai bất phương trình không tương đương. Loại C.
+) Đáp án D: \({x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x \ge 2\end{array} \right.\) và \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\) nên hai bất phương trình không tương đương. Loại D.
Xác định $m$ để với mọi \(x\) ta có \( - 1 \le \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\).
- Vì \(2{x^2} - 3x + 2 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên:
- Bất phương trình \( - 1 \le \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi hệ sau có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\):
$\left\{ \begin{array}{l} - 1\left( {2{x^2} - 3x + 2} \right) \le {x^2} + 5x + m\\{x^2} + 5x + m < 7\left( {2{x^2} - 3x + 2} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13{x^2} - 26x + 14 - m > 0\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} + 2x + m + 2 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$
- Ta có \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow - 13 + 13m < 0\)\( \Leftrightarrow m < 1\) (3)
- \(\left( 2 \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi \(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow - 5 - 3m \le 0\)\( \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{5}{3}\) (4)
Từ (2) và (4), ta có \( - \dfrac{5}{3} \le m < 1\).
Bất phương trình \(\left( {\left| {x - 1} \right| - 3} \right)\left( {\left| {x + 2} \right| - 5} \right) < 0\) có nghiệm là
Trường hợp 1:\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 1} \right| - 3 > 0\\\left| {x + 2} \right| - 5 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x - 1 > 3\\x - 1 < - 3\end{array} \right.\\ - 5 < x + 2 < 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < - 2\end{array} \right.\\ - 7 < x < 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 7 < x < - 2\)
Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 1} \right| - 3 < 0\\\left| {x + 2} \right| - 5 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < x - 1 < 3\\\left[ \begin{array}{l}x + 2 > 5\\x + 2 < - 5\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 4\\\left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 3 < x < 4\)
Bất phương trình:\(\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} > 8 - 2x\) có nghiệm là:
Ta có$\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} > 8 - 2x$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x^2} + 6x - 5 \ge 0}\\{8 - 2x < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8 - 2x \ge 0}\\{ - {x^2} + 6x - 5 > {{\left( {8 - 2x} \right)}^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 5}\\{x > 4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 4}\\{ - 5{x^2} + 38x - 69 > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 5}\\{x > 4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 4}\\{3 < x < \dfrac{{23}}{5}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4 < x \le 5\\
3 < x \le 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x \le 5\)
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\dfrac{{ - \,2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le - 1\) là
Điều kiện: \({x^2} - 3x - 10 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - \,2\\x \ne 5\end{array} \right..\)
Bất phương trình \(\dfrac{{ - \,2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le - 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} + 1 \le 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le 0\,\,\,\,\left( * \right)\)
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \,2} \right) \cup \left[ {1;3} \right] \cup \left( {5; + \,\infty } \right).\)
Nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} - x - 6 \le 0}\\{{x^3} + {x^2} - x - 1 \ge 0}\end{array}} \right.$là:
Cách giải:
Ta có $2{x^2} - x - 6 \le 0 \Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} \le x \le 2,{\rm{ }}\left( I \right)$.
${x^3} + {x^2} - x - 1 \ge 0$$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0$$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x \ge 1}\end{array}} \right..{\rm{ }}\left( {II} \right)$
Từ $\left( I \right)$ và $\left( {II} \right)$ suy ra nghiệm của hệ là $S = \left[ {1;{\rm{ }}2} \right] \cup \left\{ { - 1} \right\}$.
Số nghiệm của phương trình: $\sqrt {x + 8 - 2\sqrt {x + 7} } = 2 - \sqrt {x + 1 - \sqrt {x + 7} } $ là:
Điều kiện \(x \ge - 7\).
Đặt \(t = \sqrt {x + 7} \) , điều kiện \(t \ge 0\).
Ta có \(\sqrt {{t^2} + 1 - 2t} = 2 - \sqrt {{t^2} - 6 - t} \)\( \Leftrightarrow \left| {t - 1} \right| = 2 - \sqrt {{t^2} - t - 6} \)
Nếu \(t \ge 1\) thì ta có \(3 - t = \sqrt {{t^2} - t - 6} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} - t - 6 = 9 - 6t + {t^2}\\t \le 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = 3\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 7} = 3\)\( \Leftrightarrow x = 2\)
Nếu \(t < 1\) thì ta có \(1 + t = \sqrt {{t^2} - t - 6} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} - t - 6 = 1 + 2t + {t^2}\\t \ge - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = - \dfrac{7}{3}\;\;\left( l \right)\).
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \le 0\\x - m > 0\end{array} \right.$ có nghiệm khi
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \le 0\\x - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\x > m\end{array} \right.$.
Do đó hệ có nghiệm khi \(m < 1\).
Xác định $m$ để phương trình $\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0$ có ba nghiệm phân biệt lớn hơn $–1.$
Ta có $\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12 = 0\;\,\left( * \right)\end{array} \right.$.
Giả sử phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$, theo Vi-et ta có
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 3} \right)\\{x_1}.{x_2} = 4m + 12\end{array} \right.$.
Để phương trình $\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0$có ba nghiệm phân biệt lớn hơn $-1$. thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ khác $1$ và đều lớn hơn $ - 1$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\1 + 2\left( {m + 3} \right) + 4m + 12 \ne 0\\{x_2} > {x_1} > - 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {4m + 12} \right) > 0\\6m + 19 \ne 0\\\left( {{x_1} + 1} \right) + \left( {{x_2} + 1} \right) > 0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\m \ne - \dfrac{{19}}{6}\\ - 2\left( {m + 3} \right) + 2 > 0\\4m + 12 - 2\left( {m + 3} \right) + 1 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 3\end{array} \right.\\m \ne - \dfrac{{19}}{6}\\m < - 2\\m > - \dfrac{7}{2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{7}{2} < m < - 3\\m \ne - \dfrac{{19}}{6}\end{array} \right.$.
Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: \(\left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| = {x^2} - 5x + a\) thì giá trị của tham số \(a\) là:
Xét phương trình: \(\left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| = {x^2} - 5x + a\) (1)
\( \Leftrightarrow a = \left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| - {x^2} + 5x\)
Xét \(f\left( x \right) = \left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| - {x^2} + 5x\)
\( = \left\{ \begin{array}{l}\left( {10x - 2{x^2} - 8} \right) - {x^2} + 5x{\rm{ }} & {\rm{khi }}10x - 2{x^2} - 8 \ge 0\\ - \left( {10x - 2{x^2} - 8} \right) - {x^2} + 5x{\rm{ }} & {\rm{khi }}10x - 2{x^2} - 8 < 0\end{array} \right.\)
\( = \left\{ \begin{array}{l} - 3{x^2} + 15x - 8 & {\rm{khi }}1 \le x \le 4\\{x^2} - 5x + 8 & {\rm{khi }}x \le 1 \vee x \ge 4\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 4 < a < \dfrac{{43}}{4}\).
Để bất phương trình \(\sqrt {(x + 5)(3 - x)} \le {x^2} + 2x + a\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\), tham số \(a\) phải thỏa điều kiện:
\(\sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} + 2x + a \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} - 2x + 15} - {x^2} - 2x \le a\)
Đặt \(t = \sqrt { - {x^2} - 2x + 15} \), ta có bảng biến thiên
Suy ra \(t \in \left[ {0;4} \right]\).
Bất phương trình đã cho thành ${t^2} + t - 15 \le a$.
Xét hàm $f\left( t \right) = {t^2} + t - 15$ với \(t \in \left[ {0;4} \right]\)
Ta có bảng biến thiên
Bất phương trình \({t^2} + t - 15 \le a\) nghiệm đúng \(\forall t \in \left[ {0;4} \right]\) khi và chỉ khi \(a \ge 5.\)
Cho bất phương trình: ${x^2} - 2x \le \left| {x - 2} \right| + ax - 6$. Giá trị dương nhỏ nhất của $a$ để bất phương trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây:
Trường hợp 1: $x \in \left[ {2; + \infty } \right)$.
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
${x^2} - \left( {a + 3} \right)x + 8 \le 0$$ \Leftrightarrow a \ge x + \dfrac{8}{x} - 3 \ge 4\sqrt 2 - 3 \approx 2,65$$\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)$.
Dấu xảy ra khi $x = 2\sqrt 2 $.
Trường hợp 2: $x \in \left( { - \infty ;2} \right)$.
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
${x^2} - \left( {a + 1} \right)x + 4 \le 0$
$\Leftrightarrow ax \ge {x^2} -x+4$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge \dfrac{{x^2} -x+4}{x}\;\;khi\;\;x \in \left( {0;2} \right)\;\;\;\;\;\;\\a \le \dfrac{{x^2} -x+4}{x}\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\;\;\;\end{array} \right.$.
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge x + \dfrac{4}{x} - 1\;\;khi\;\;x \in \left( {0;2} \right)\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\a \le x + \dfrac{4}{x} - 1\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$.
Giải $\left( 1 \right)$ ta được $a > 3$ (theo bất đẳng thức Cauchy).
Giải $\left( 2 \right)$: $a \le x + \dfrac{4}{x} - 1$$ \Leftrightarrow a \le - 2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}} - 1 = - 5$.
Vậy giá trị dương nhỏ nhất của $a$ gần với số $2,6$.
Bất phương trình: $\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| \le {x^2} - 5$ có bao nhiêu nghiệm nghiệm nguyên?
Đặt \(t = {x^2} \ge 0\)
Ta có \(\left| {{t^2} - 2t - 3} \right| \le t - 5\).
Nếu \({t^2} - 2t - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le - 1\\t \ge 3\end{array} \right.\) thì ta có \({t^2} - 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le 2\) loại
Nếu \({t^2} - 2t - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < t < 3\) thì ta có \( - {t^2} + t + 8 \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{2}\\t \ge \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right.\) loại.
Để phương trình: $\left| {x + 3} \right|(x - 2) + m - 1 = 0$có đúng một nghiệm, các giá trị của tham số \(m\)là:
Ta có $\left| {x + 3} \right|\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 - \left| {x + 3} \right|\left( {x - 2} \right)$
Xét hàm số $y = 1 - \left| {x + 3} \right|(x - 2)$
Ta có $y = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - x + 7\,\,\;khi\,\,\;x \ge - 3\\{x^2} + x - 5\,\,\;\;\;khi\,\;\;x < - 3\end{array} \right.$
Bảng biến thiên của $y = 1 - \left| {x + 3} \right|(x - 2)$
Dựa vào bảng trên phương trình có đúng $1$ nghiệm khi và chỉ khi$\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > \dfrac{{29}}{4}\end{array} \right.$
Bất phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) < 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28} \) có nghiệm là
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
\(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) < 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28} \)\( \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 4 - 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28} < 0\)(1)
Đặt \(\sqrt {{x^2} + 5x + 28} = t\left( {t > 0} \right)\)
(1) trở thành: \({t^2} - 5t - 24 < 0 \Leftrightarrow - 3 < t < 8\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 5x + 28 < 64\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 36 < 0 \Leftrightarrow - 9 < x < 4\end{array}\)
Tìm \(m\) để bất phương trình \(\sqrt {x - {m^2} - m} \left( {3 - \dfrac{{x + 1}}{{{x^3} - {x^2} - 3x + 3}}} \right) < 0\,\,(*)\) có nghiệm .
Ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - \dfrac{{x + 1}}{{{x^3} - {x^2} - 3x + 3}} < 0}\\{x > {m^2} + m}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0}\\{x > {m^2} + m}\end{array}} \right.\) \(\left( {**} \right)\)
Bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0\) là \(S = \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {57} }}{6}; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt {57} }}{6};1} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\)
Do đó bất phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi hệ bất phương trình\(\left( {**} \right)\) có nghiệm
\( \Leftrightarrow {m^2} + m < 2\)\( \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 < 0\)\( \Leftrightarrow - 2 < m < 1\)
Vậy \( - 2 < m < 1\) là giá trị cần tìm.
