Xác định $m$ để phương trình $\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0$ có ba nghiệm phân biệt lớn hơn $–1.$
Trả lời bởi giáo viên
Ta có $\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12 = 0\;\,\left( * \right)\end{array} \right.$.
Giả sử phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$, theo Vi-et ta có
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 3} \right)\\{x_1}.{x_2} = 4m + 12\end{array} \right.$.
Để phương trình $\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0$có ba nghiệm phân biệt lớn hơn $-1$. thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ khác $1$ và đều lớn hơn $ - 1$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\1 + 2\left( {m + 3} \right) + 4m + 12 \ne 0\\{x_2} > {x_1} > - 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {4m + 12} \right) > 0\\6m + 19 \ne 0\\\left( {{x_1} + 1} \right) + \left( {{x_2} + 1} \right) > 0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\m \ne - \dfrac{{19}}{6}\\ - 2\left( {m + 3} \right) + 2 > 0\\4m + 12 - 2\left( {m + 3} \right) + 1 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 3\end{array} \right.\\m \ne - \dfrac{{19}}{6}\\m < - 2\\m > - \dfrac{7}{2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{7}{2} < m < - 3\\m \ne - \dfrac{{19}}{6}\end{array} \right.$.
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi phương trình tương đương $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12 = 0\left( * \right)\end{array} \right.$
- Phương trình đã cho có $3$ nghiệm lớn hơn $-1$ nếu phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ và lớn hơn $-1$