Bài tập cuối chương III

ĐKXĐ: ${x^3} + {x^2} - 5x - 2 \ne 0$$\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2}\\{x \ne \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2;\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 > 0\\x + 2 \ge 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} > 0\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}x \ne 2\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}$.

Khi $x \ge 1$ thì hàm số là $y = \dfrac{1}{x}$ luôn xác định với $x \ge 1$.

$=>$ ${D_1} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Khi $x < 1$ thì hàm số là $y = \sqrt {x + 1}$ xác định khi

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x \ge  - 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow  - 1 \le x < 1$

$=>$${D_2} = \left[ { - 1;1} \right)$

Do đó hàm số đã cho có tập xác định $D = \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left[ { - 1;1} \right) = \left[ { - 1; + \infty } \right)$

ĐKXĐ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m + 2 \ge 0}\\{\sqrt {x - m + 2}  \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge m - 2}\\{x \ne m - 1}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {m - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {m - 1} \right\}$.

Hàm số xác định trên $\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right) \cup \left( {m - 1; + \infty } \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right)}\\{\left( {0;1} \right) \subset \left( {m - 1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m - 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m \le 1}\end{array}} \right.$

Vậy $m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\}$ là giá trị cần tìm.

Điểm $M\left( { - 1;2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi

$2 =  - m - 2({m^2} + 1) + 2{m^2} - m \Leftrightarrow m =  - 2$

Vậy $m =  - 2$ là giá trị cần tìm.

Ta tịnh tiến đồ thị hàm số $y = {x^2} + 1$ sang phải $2$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1$ rồi tịnh tiến lên trên $1$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1+1$ hay $y = {x^2} - 4x + 6$.

Vậy hàm số cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 6$.

Ta có $- 2{x^2} - 6x + 3 =  - 2{\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{2}$

Do đó tịnh tiến đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2}$ để được đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2} - 6x + 3$ ta làm như sau

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2}$ đi sang bên trái $\dfrac{3}{2}$ đơn vị và lên trên đi $\dfrac{{15}}{2}$ đơn vị.

Vì $A \in \left( P \right)$ nên $3 = 4a + 2b + c$ (1).

Mặt khác $\left( P \right)$ có đỉnh $I(1;2)$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0$ (2) và $I \in \left( P \right)$ suy ra $2 = a + b + c$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\2a + b = 0\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 3\end{array} \right.$

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - 2x + 3$.

Ta có $c = 2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( {3; - 4} \right)$ nên $- 4 = 9a + 3b + 2 \Leftrightarrow 3a + b =  - 2$ (*)

$\left( P \right)$ có trục đối xứng là $x =  - \dfrac{3}{2}$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow b = 3a$ thay vào (*) ta được $3a + 3a =  - 2 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow b =  - 1$ .

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y =  - \dfrac{1}{3}{x^2} - x + 2$.

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{3}{4}$ khi $x = \dfrac{1}{2}$ nên ta có

$- \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0$ (5)

$\dfrac{3}{4} = a{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + c$ $\Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3$ (6) và $a > 0$

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ nhận giá trị bằng $1$ khi $x = 1$ nên $a + b + c = 1$(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - x + 1$.

Parabol cắt $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$

Ta có: $0 = a{.2^2} + 3.2 - 2 \Leftrightarrow a =  - 1$

Vậy parabol $y =  - {x^2} + 3x - 2$

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} = 3,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - 1$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y = {x^2} - 6x + 8$ có đỉnh là $I\left( {3; - 1} \right)$, đi qua các điểm $A\left( {2;0} \right),\,\,B\left( {4;0} \right)$

Nhận đường thẳng $x = 3$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

Đường thẳng $y = m\left( { - 1 < m < 0} \right)$ song song với trục hoành nên ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại $2$ điểm phân biệt.

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} =  - 1,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 4$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y =  - {x^2} - 2x + 3$ có đỉnh là $I\left( { - 1;4} \right)$, đi qua các điểm $A\left( {1;0} \right),\,\,B\left( { - 3;0} \right)$

Nhận đường thẳng $x =  - 1$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Trên đoạn $\left[ { - 3;1} \right]$thì hàm số đạt GTNN $y = 0$

Ta có $\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) = 6m + 12$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 6m + 12 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2$

Theo định lý Viét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 3}\end{array}} \right.$

$P =  - 10\left( {m + 3} \right) - 2\left( {{m^2} - 3} \right) =  - 2{m^2} - 10m - 24$

Xét hàm số $y =  - 2{x^2} - 10x - 24$ với $x \in \left[ { - 2; + \infty } \right)$

Bảng biến thiên

Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2; + \infty } \right)} y =  - 12$ khi và chỉ khi $x =  - 2$

Vậy $m =  - 2$ là giá trị cần tìm.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ nên $3 = 16a + 4b + c$ (1)

Mặt khác $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ suy ra $0 = 9a + 3b + c$ (2), $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $P$ nên $P\left( {t;0} \right),\,\,t < 3$

Theo định lý Viét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 3 =  - \dfrac{b}{a}}\\{3t = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.$

Ta có ${S_{\Delta IPN}} = \dfrac{1}{2}IH.NP$ với $H$ là hình chiếu của $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)$ lên $PN$ hay trục hoành

Do $IH = \left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|$, $NP = 3 - t$ nên ${S_{\Delta INP}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|.\left( {3 - t} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \dfrac{c}{a}} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\dfrac{{\left( {t + 3} \right)}}{4}}^2} - 3t} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{8}{{\left| a \right|}}$ (3)

Từ (1) và (2) ta có $7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a$ suy ra $t + 3 =  - \dfrac{{3 - 7a}}{a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{{4 - t}}{3}>0$ do $t<3$

Thay vào (3) ta có ${\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{{8\left( {4 - t} \right)}}{3} \Leftrightarrow 3{t^3} - 27{t^2} + 73t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Suy ra $a = 1 \Rightarrow b =  - 4 \Rightarrow c = 3$.

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 3$.

${x^2} - 3x + 2 - m = 0 \Rightarrow m = {x^2} - 3x + 2\,\,\,\left( 1 \right)$

Số nghiệm của phương trình (1) trên $\left[ { - 1;2} \right]$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} - 3x + 2$ với đường thẳng $y = m$ song song $Ox$ trên $\left[ { - 1;2} \right]$

Đồ thị có đỉnh $I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{{ - 1}}{4}} \right)$

$f\left( { - 1} \right) = 6;f\left( 2 \right) = 0$

Để phương trình (1) có nghiệm thì $\dfrac{{ - 1}}{4} \le m \le 6$. Do $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: $2{x^2} - x + 2 = 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.$

Vậy tọa độ giao điểm là $\left( {1;3} \right),\left( { - \dfrac{1}{2};3} \right)$       

Hàm số $y = \left( {m - 5} \right){x^2} - 5x + 1$ là hàm số bậc nhất

$\Leftrightarrow m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5$.