Bài tập cuối chương III

Sách chân trời sáng tạo

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Tìm tập xác định của hàm số$y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^3} + {x^2} - 5x - 2}}$

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

ĐKXĐ: \({x^3} + {x^2} - 5x - 2 \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2}\\{x \ne \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2;\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}$

Câu 2 Trắc nghiệm

Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{x\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}$

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 > 0\\x + 2 \ge 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} > 0\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}x \ne 2\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}$.

Câu 3 Trắc nghiệm

Tìm tập xác định của hàm số$y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x}\quad khi\;x \ge 1\\\sqrt {x + 1} \quad khi\;x < 1\end{array} \right.$

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Khi \(x \ge 1\) thì hàm số là \(y = \dfrac{1}{x}\) luôn xác định với $x \ge 1$.

$=>$ ${D_1} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Khi \(x < 1\) thì hàm số là \(y = \sqrt {x + 1} \) xác định khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x \ge  - 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow  - 1 \le x < 1\)

$=>$${D_2} = \left[ { - 1;1} \right)$

Do đó hàm số đã cho có tập xác định $D = \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left[ { - 1;1} \right) = \left[ { - 1; + \infty } \right)$

Câu 4 Trắc nghiệm

Cho hàm số: \(y = \dfrac{{mx}}{{\sqrt {x - m + 2}  - 1}}\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để hàm số xác định trên \(\left( {0;1} \right)\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

ĐKXĐ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m + 2 \ge 0}\\{\sqrt {x - m + 2}  \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge m - 2}\\{x \ne m - 1}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {m - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {m - 1} \right\}$.

Hàm số xác định trên \(\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right) \cup \left( {m - 1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right)}\\{\left( {0;1} \right) \subset \left( {m - 1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m - 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m \le 1}\end{array}} \right.\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\}\) là giá trị cần tìm.

Câu 5 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m\). Tìm \(m\) để điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi

\(2 =  - m - 2({m^2} + 1) + 2{m^2} - m \Leftrightarrow m =  - 2\)

Vậy \(m =  - 2\) là giá trị cần tìm.

Câu 6 Trắc nghiệm

Tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) liên tiếp sang phải $2$ đơn vị và lên trên $1$ đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) sang phải $2$ đơn vị ta được đồ thị hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1\) rồi tịnh tiến lên trên $1$ đơn vị ta được đồ thị hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1+1\) hay \(y = {x^2} - 4x + 6\).

Vậy hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - 4x + 6\).

Câu 7 Trắc nghiệm

Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\) để được đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2} - 6x + 3\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \( - 2{x^2} - 6x + 3 =  - 2{\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{2}\)

Do đó tịnh tiến đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\) để được đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2} - 6x + 3\) ta làm như sau

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\) đi sang bên trái \(\dfrac{3}{2}\) đơn vị và lên trên đi \(\dfrac{{15}}{2}\) đơn vị.

Câu 8 Trắc nghiệm

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(A(2;3)\) có đỉnh \(I(1;2)\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Vì \(A \in \left( P \right)\) nên \(3 = 4a + 2b + c\) (1).

Mặt khác \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên \( - \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0\) (2) và \(I \in \left( P \right)\) suy ra \(2 = a + b + c\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\2a + b = 0\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là $y = {x^2} - 2x + 3$.

Câu 9 Trắc nghiệm

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(c = 2\) và \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( {3; - 4} \right)\) và có trục đối xứng là $x =  - \dfrac{3}{2}$.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \(c = 2\) và \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( {3; - 4} \right)\) nên \( - 4 = 9a + 3b + 2 \Leftrightarrow 3a + b =  - 2\) (*)

\(\left( P \right)\) có trục đối xứng là $x =  - \dfrac{3}{2}$ nên \( - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow b = 3a\) thay vào (*) ta được \(3a + 3a =  - 2 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow b =  - 1\) .

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là $y =  - \dfrac{1}{3}{x^2} - x + 2$.

Câu 10 Trắc nghiệm

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{3}{4}\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) và nhận giá trị bằng \(1\) khi $x = 1$.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{3}{4}\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) nên ta có

\( - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0\) (5)

\(\dfrac{3}{4} = a{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + c \) \(\Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3\) (6) và $a > 0$

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) nhận giá trị bằng \(1\) khi $x = 1$ nên \(a + b + c = 1\)(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình \(\left( P \right)\) cần tìm là $y = {x^2} - x + 1$.

Câu 11 Trắc nghiệm

Tìm parabol $y = a{x^2} + 3x - 2$ , biết rằng parabol đó cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2$

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Parabol cắt \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\)

Ta có: \(0 = a{.2^2} + 3.2 - 2 \Leftrightarrow a =  - 1\)

Vậy parabol \(y =  - {x^2} + 3x - 2\)

Câu 12 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = {x^2} - 6x + 8\). Sử dụng đồ thị để tìm số điểm chung của đường thẳng \(y = m\left( { - 1 < m < 0} \right)\) và đồ thị hàm số trên.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có \( - \dfrac{b}{{2a}} = 3,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - 1\)

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 6x + 8\) có đỉnh là \(I\left( {3; - 1} \right)\), đi qua các điểm \(A\left( {2;0} \right),\,\,B\left( {4;0} \right)\)

Nhận đường thẳng $x = 3$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

Đường thẳng \(y = m\left( { - 1 < m < 0} \right)\) song song với trục hoành nên ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại \(2\) điểm phân biệt.

Câu 13 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y =  - {x^2} - 2x + 3\). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ { - 3;1} \right]\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \( - \dfrac{b}{{2a}} =  - 1,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 4\)

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} - 2x + 3\) có đỉnh là \(I\left( { - 1;4} \right)\), đi qua các điểm \(A\left( {1;0} \right),\,\,B\left( { - 3;0} \right)\)

Nhận đường thẳng $x =  - 1$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\)thì hàm số đạt GTNN \(y = 0\)

Câu 14 Trắc nghiệm

Cho phương trình ${x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + {m^2} - 3 = 0$, $m$ là tham số.

Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ và $P = 5({x_1} + {x_2}) - 2{x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) = 6m + 12\)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 6m + 12 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2\)

Theo định lý Viét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 3}\end{array}} \right.\)

\(P =  - 10\left( {m + 3} \right) - 2\left( {{m^2} - 3} \right) =  - 2{m^2} - 10m - 24\)

Xét hàm số \(y =  - 2{x^2} - 10x - 24\) với $x \in \left[ { - 2; + \infty } \right)$

Bảng biến thiên

Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2; + \infty } \right)} y =  - 12\) khi và chỉ khi $x =  - 2$

Vậy \(m =  - 2\) là giá trị cần tìm.

Câu 15 Trắc nghiệm

Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) đỉnh \(I\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(M(4;3)\) cắt \(Ox\) tại \(N(3;0)\) và \(P\)  sao cho \(\Delta INP\) có diện tích bằng $1$, biết hoành độ điểm \(P\) nhỏ hơn \(3\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(M(4;3)\) nên \(3 = 16a + 4b + c\) (1)

Mặt khác \(\left( P \right)\) cắt \(Ox\) tại \(N(3;0)\) suy ra \(0 = 9a + 3b + c\) (2), \(\left( P \right)\) cắt \(Ox\) tại \(P\) nên \(P\left( {t;0} \right),\,\,t < 3\)

Theo định lý Viét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 3 =  - \dfrac{b}{a}}\\{3t = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Ta có \({S_{\Delta IPN}} = \dfrac{1}{2}IH.NP\) với \(H\) là hình chiếu của \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\) lên $PN$ hay trục hoành

Do \(IH = \left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|\), \(NP = 3 - t\) nên \({S_{\Delta INP}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|.\left( {3 - t} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \dfrac{c}{a}} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\dfrac{{\left( {t + 3} \right)}}{4}}^2} - 3t} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{8}{{\left| a \right|}}\) (3)

Từ (1) và (2) ta có \(7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a\) suy ra \(t + 3 =  - \dfrac{{3 - 7a}}{a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{{4 - t}}{3}>0\) do $t<3$

Thay vào (3) ta có \({\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{{8\left( {4 - t} \right)}}{3} \Leftrightarrow 3{t^3} - 27{t^2} + 73t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Suy ra $a = 1 \Rightarrow b =  - 4 \Rightarrow c = 3$.

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 3$.

Câu 16 Trắc nghiệm

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 3x + 2 - m = 0\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

\({x^2} - 3x + 2 - m = 0 \Rightarrow m = {x^2} - 3x + 2\,\,\,\left( 1 \right)\)

Số nghiệm của phương trình (1) trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) với đường thẳng \(y = m\) song song \(Ox\) trên \(\left[ { - 1;2} \right]\)

Đồ thị có đỉnh \(I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{{ - 1}}{4}} \right)\)

\(f\left( { - 1} \right) = 6;f\left( 2 \right) = 0\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì \(\dfrac{{ - 1}}{4} \le m \le 6\). Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\)

 

Câu 17 Trắc nghiệm

Tìm tất cả các giao điểm của parabola \(\left( P \right):y = 2{x^2} - x + 2\) với đường thẳng \(d:y = 3\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: \(2{x^2} - x + 2 = 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {1;3} \right),\left( { - \dfrac{1}{2};3} \right)\)       

Câu 18 Trắc nghiệm
Cho hàm số \(y = \left( {m - 5} \right){x^2} - 5x + 1\). Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Hàm số \(y = \left( {m - 5} \right){x^2} - 5x + 1\) là hàm số bậc nhất

\( \Leftrightarrow m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\).