Câu hỏi:
1 năm trước
Cho phương trình ${x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + {m^2} - 3 = 0$, $m$ là tham số.
Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ và $P = 5({x_1} + {x_2}) - 2{x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) = 6m + 12\)
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 6m + 12 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 2\)
Theo định lý Viét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 3}\end{array}} \right.\)
\(P = - 10\left( {m + 3} \right) - 2\left( {{m^2} - 3} \right) = - 2{m^2} - 10m - 24\)
Xét hàm số \(y = - 2{x^2} - 10x - 24\) với $x \in \left[ { - 2; + \infty } \right)$
Bảng biến thiên
Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2; + \infty } \right)} y = - 12\) khi và chỉ khi $x = - 2$
Vậy \(m = - 2\) là giá trị cần tìm.
Hướng dẫn giải:
- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm.
- Sử dụng định lý Vi-et tính \(P\) theo \(m\)
- Tìm \(GTLN\) của \(P\) bằng cách xét hàm số bậc hai ẩn \(m\) và kết luận.
