Tính chất chung của ba đường conic

Sách chân trời sáng tạo

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Đường conic có phương trình: \(\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) là đường:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:

Elip

Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:

Elip

Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

Elip

Đường conic có phương trình: \(\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) là đường elip.

Câu 2 Trắc nghiệm

Sao Diêm Vương chuyển động xung quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip có một trong hai tiêu điểm là tâm của Mặt Trời. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 5,906 . 106 km và tâm sai e ≈ 0,249. (Nguồn: https://vi.wikipedia.org)

Tìm khoảng cách nhỏ nhất (gần đúng) giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:

D.\(4\,435\,406{\rm{ }}km.\)

Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:

D.\(4\,435\,406{\rm{ }}km.\)

Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

D.\(4\,435\,406{\rm{ }}km.\)

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm \({F_1}\) của elip.

Khi đó elip có phương trình là

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\;\left( {a > b > 0} \right).\)

Theo đề bài, ta có: elip này có bán trục lớn \(a \approx 5,{906.10^6}\;km\) và tâm sai \(e \approx 0,249\)

Giả sử Sao Diêm Vương có toạ độ là \(M\left( {x;{\rm{ }}y} \right).\)

Khi đó khoảng cách giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời là: \(M{F_1}\; = a + \;ex.\)

Vì \(x \ge -a\) nên \(M{F_1}\; \ge a-ea \approx 5,{906.10^6}-0,249.5,{906.10^6}\; = 4\,435\,406{\rm{ }}\left( {km} \right).\)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời xấp xỉ \(4\,435\,406{\rm{ }}km.\)

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho đường thẳng Δ và điểm O sao cho khoảng cách từ O đến Δ là OH = 1.

Với mỗi điểm M di động trong mặt phẳng, gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên Δ. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(M{K^2}--M{O^2}\; = 1\) là một đường:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:

A.parabol

Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:

A.parabol

Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

A.parabol

Chọn hệ trục toạ độ sao cho điểm O trùng với gốc toạ độ và trục Ox trùng với đường thẳng OH.

Giả sử M có toạ độ (x; y) thì K có toạ độ là (–1; y).

Khi đó:

\(M{K^2}-M{O^2}\; = 1\)

Vậy tập hợp các điểm M là parabol có phương trình \({y^2}\; = 2x.\)

Câu 4 Trắc nghiệm

Cho hình chữ nhật ABCD với bốn đỉnh A(–4; 3), B(4; 3), C(4; –3), D(–4; –3).

Viết phương trình chính tắc của elip nhận ABCD là hình chữ nhật cơ sở.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:

A.\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:

A.\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

A.\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\;\left( {a > b > 0} \right).\)

Vì ABCD là hình chữ nhật cơ sở của elip nên M, N là hai đỉnh của elip.

Lại có: \(M\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\; \Rightarrow \;b = 3,{\rm{ }}N\left( {4;{\rm{ }}0} \right) \Rightarrow \;a = 4.\)

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Câu 5 Trắc nghiệm

Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất. Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.

Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6371 km ).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

Gọi phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo là \({y^2}\; = 2px\left( {p > 0} \right).\)

Nhìn hình vẽ ta thấy: \(OF = 148 + 6371 = 6519{\rm{ }}\left( {km} \right)\)

\( \Rightarrow \;\dfrac{p}{2}\; = 6519 \Rightarrow p = 13038\)

⇒ phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo là \({y^2}\; = 26\,076x.\)

Câu 6 Trắc nghiệm

Viết phương trình của conic có tâm sai e = 1, tiêu điểm F(1; 0) và đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:

C.\({y^2}\; = 4x.\)

Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:

C.\({y^2}\; = 4x.\)

Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

C.\({y^2}\; = 4x.\)

Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic.

Khi đó, ta có: \(\dfrac{{MF}}{{d\left( {M;\Delta } \right)}} = e\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {0 - y} \right)}^2}} }}{{\left| {x + 1} \right|}} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {0 - y} \right)}^2}} = \left| {x + 1} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {0 - y} \right)^2} = {\left| {x + 1} \right|^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - 2x + {x^2}} \right) + {y^2} = {x^2} + 2x + 1\\ \Leftrightarrow {y^2} = 4x\end{array}\)

Vậy phương trình của conic đã cho là \({y^2}\; = 4x.\)

Câu 7 Trắc nghiệm

Quỹ đạo của Sao hỏa có tâm sai bằng 0,0934 là đường:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:

A.Elip

Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:

A.Elip

Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

A.Elip

Vì quỹ đạo của Sao Hoả có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Câu 8 Tự luận

Điền dấu “>;<;=”

Elip là đường conic có tâm sai e

1

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Elip là đường conic có tâm sai e

1

Elip là đường conic có tâm sai e < 1

Câu 9 Trắc nghiệm

Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái Đất năm 1957. Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm (1 dặm xấp xỉ 1,609 km). Tìm tâm sai của quỹ đạo đó, biết bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm. (Nguồn: Sách giáo khoa Hình học 10, Ban Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2018)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:

A.0,076

Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:

A.0,076

Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

A.0,076

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F1 của elip.

Khi đó elip có phương trình là

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\;\left( {a > b > 0} \right).\)

Theo đề bài, ta có: vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm

Mà bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm

=> Vệ tinh cách tâm Trái Đất gần nhất là 583 + 4000 = 4583 dặm và xa nhất là 1342 + 4000 = 5342 dặm.

Giả sử vệ tinh có toạ độ là M(x; y).

Khi đó khoảng cách từ vệ tinh đến tâm Trái Đất là: \(M{F_1}\; = a + \;\dfrac{c}{a}x\)

Vì \(-a \le x \le a\) nên \(a-c{\rm{ }} \le M{F_1}\; \le a + c.\)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất từ vệ tinh đến tâm Trái Đất lần lượt là a – c và a + c.

Vậy tâm sai của quỹ đạo này xấp xỉ 0,076.

Câu 10 Trắc nghiệm

Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2}\; = 2x\). Tìm tiêu điểm của parabol.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:

C.\(F\left( {\dfrac{1}{2};0} \right).\)

Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:

C.\(F\left( {\dfrac{1}{2};0} \right).\)

Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

C.\(F\left( {\dfrac{1}{2};0} \right).\)

Ta có: $2p = 2$

\( \Rightarrow p = 1 \Rightarrow \dfrac{p}{2} = \dfrac{1}{2}\)

Vậy tiêu điểm của parabol là \(F\left( {\dfrac{1}{2};0} \right).\)