Bài tập cuối chuyên đề 2

Đối với bài toán chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với mọi $n \ge p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với $n = p$.

- Bước 2: Với $k \ge p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$, chứng minh $P\left( n \right)$ cũng đúng khi $n = k + 1$.

Từ đó ta thấy, ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n = p$ chứ không phải $n = 1$.

Đối với bài toán chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với mọi $n \ge p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với $n = p$.

- Bước 2: Với $k \ge p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$, chứng minh $P\left( n \right)$ cũng đúng khi $n = k + 1$.

Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng.

Quan sát lời giải trên ta thấy:

Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra $n = 1$ thì ${8^1} + 1 = 9$ không chia hết cho $7$ nên mệnh đề đó sai.

$\bullet$ Xét khai triển ${x^2}{\left( {1 + 2x} \right)^{10}} = {x^2}.\sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.1^{10\, - \,k}}.{\left( {2x} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.2^k}.{x^{2\, + \,k}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ ứng với ${{x}^{2\,+\,k}}={{x}^{8}}\Leftrightarrow k=6\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Hệ số của ${x^8}$ là ${2^6}.C_{10}^6.$

$\bullet$ Xét khai triển ${x^4}{\left( {3 + x} \right)^8} = {x^4}.\sum\limits_{i\, = \,0}^8 {C_8^i} {.3^{8\, - \,i}}.{x^i} = \sum\limits_{i\, = \,0}^8 {C_8^i} {.3^{8\, - \,i}}.{x^{i\, + \,4}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ ứng với ${{x}^{i\,+\,4}}={{x}^{8}}\Leftrightarrow i=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$ Hệ số của ${x^8}$ là $C_8^4{.3^4}.$

Vậy hệ số cần tìm là ${2^6}.C_{10}^6 - {3^4}.C_8^4 = 7770.$ 

Với $n = 0$ ta có: $S = 1$

Với $n = 1$ ta có $S = 1 – 2 + 3 = 2$

Với $n = 2$ ta có $S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3$

Dự đoán $S = n + 1 (*)$, ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng bằng quy nạp.

Với $n = 0$ đương nhiên $(*)$ đúng.

Giả sử $(*)$ đúng với $n = k$, tức là ${S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} \right) = k + 1$, ta chứng minh $(*)$ đúng với $n =k+1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} \right) + \left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1} \right) - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = {S_k} - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = k + 1 + 1.\end{array}$

Vậy $(*)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, tức là $S = n + 1$.

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {\sqrt {{x^3}}  + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^n}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{\left( {\sqrt {{x^3}} } \right)^{n\, - \,k}}.{\left( {\dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^k}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{\frac{{3\left( {n\, - \,k} \right)}}{2}}}.{x^{ - \,\frac{{2k}}{3}}}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{\frac{{3n}}{2} - \frac{{13k}}{6}}}.$

Suy ra tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là ${3^0}.C_n^0 + {3^1}.C_n^1 + {3^2}.C_n^2 = 631$

$\Leftrightarrow 1 + 3n + \dfrac{{9n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 631 \Rightarrow n = 12.$ Khi đó ${\left( {\sqrt {{x^3}}  + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} {.3^k}.{x^{18\, - \,\frac{{13k}}{6}}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^5}$ ứng với $18-\dfrac{13k}{6}=5\Leftrightarrow k=6\,\,\xrightarrow{{}}$ Hệ số cần tìm là $C_{12}^6{.3^6}.$ 

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^{99}} = C_{99}^0{a^{99}} + C_{99}^1{a^{98}}b + C_{99}^2{a^{97}}{b^2} + ... + C_{99}^{98}a{b^{98}} + C_{99}^{99}{b^{99}}$

Thay $a = 3,b = 4$ ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {3 + 4} \right)^{99}} = C_{99}^0{.3^{99}} + C_{99}^1{.3^{98}}.4 + C_{99}^2{.3^{97}}{.4^2} + ... + C_{99}^{98}{.3.4^{98}} + C_{99}^{99}{.4^{99}}\\ \Leftrightarrow {7^{99}} = {3^{99}}C_{99}^0 + {3^{98}}.4C_{99}^1 + {3^{97}}{.4^2}C_{99}^2 + ... + {3.4^{98}}C_{99}^{98} + {4^{99}}C_{99}^{99}\end{array}$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^{99}} = C_{99}^0{a^{99}} + C_{99}^1{a^{98}}b + C_{99}^2{a^{97}}{b^2} + ... + C_{99}^{98}a{b^{98}} + C_{99}^{99}{b^{99}}$

Thay $a = 9,b = 1$ ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {9 + 1} \right)^{99}} = C_{99}^0{.9^{99}} + C_{99}^1{.9^{98}}.1 + C_{99}^2{.9^{97}}{.1^2} + ... + C_{99}^{98}{.9.1^{98}} + C_{99}^{99}{.1^{99}}\\ \Leftrightarrow {10^{99}} = {9^{99}}C_{99}^0 + {9^{98}}C_{99}^1 + {9^{97}}C_{99}^2 + ... + 9C_{99}^{98} + C_{99}^{99}\end{array}$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Thay $a = 1,b = 1$ ta có:

$\begin{array}{l}{2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n\\ \Leftrightarrow {2^n} = 1 + n + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2} + n + 1\\ \Leftrightarrow {2^n} - 2n - 2 = C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2}\end{array}$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^{2n}} = C_{2n}^0{a^{2n}} + C_{2n}^1{a^{2n - 1}}b + C_{2n}^2{a^{2n - 2}}{b^2} + ... + C_{2n}^{2n - 1}a{b^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}{b^{2n}}$

Thay $a = 1,b =  - 1$ ta có:

$\begin{array}{l}0 = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 2} - C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + C_{2n}^6 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + C_{2n}^7 + ... + C_{2n}^{2n - 1}\end{array}$

Đáp án A đúng.

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{a^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{a^{2n}}b + C_{2n + 1}^2{a^{2n - 1}}{b^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}a{b^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{b^{2n + 1}}$

Thay $a = 1,b =  - 1$ ta có:

$\begin{array}{l}0 = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 - C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n - 2} - C_{2n + 1}^{2n - 1} + C_{2n + 1}^{2n} - C_{2n + 1}^{2n + 1}\\ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + C_{2n + 1}^6 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + C_{2n + 1}^7 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\end{array}$

Đáp án C đúng.

Áp dụng tính chất $C_n^k = C_n^{n - k}$ ta có:

$\begin{array}{l}C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n + 1}\\C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\C_{2n + 1}^2 = C_{2n + 1}^{2n - 1}\\...\\C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1}\end{array}$

Cộng vế với vế ta có

$C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + C_{2n + 1}^{n + 3} + C_{2n + 1}^{n + 4} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}$

Đáp án D đúng.

Áp dụng tính chất $C_n^k = C_n^{n - k}$ ta có:

$\begin{array}{l}C_{2n}^0 = C_{2n}^{2n}\\C_{2n}^1 = C_{2n}^{2n - 1}\\C_{2n}^2 = C_{2n}^{2n - 2}\\...\\C_{2n}^{n - 1} = C_{2n}^{n + 1}\end{array}$

Cộng vế với vế ta có

$\begin{array}{l}C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{n - 1} = C_{2n}^{n + 1} + C_{2n}^{n + 2} + C_{2n}^{n + 3} + C_{2n}^{n + 4} + ... + C_{2n}^{2n}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^n > C_{2n}^{n + 1} + C_{2n}^{n + 2} + C_{2n}^{n + 3} + C_{2n}^{n + 4} + ... + C_{2n}^{2n}\end{array}$

Đáp án B sai.

Ta có:

${\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x + C_{2n + 1}^2{x^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}$

Mặt khác:

${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}$

${\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1x + C_{n + 1}^2{x^2} + ... + C_{n + 1}^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_{n + 1}^n{x^n} + C_{n + 1}^{n + 1}{x^{n + 1}}$

Suy ra

${\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = \left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)  ( {C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1x + C_{n + 1}^2{x^2} + ... + C_{n + 1}^{n + 1}{x^{n + 1}}} )$

Đồng nhất hệ số của ${x^n}$ ta được:

$C_n^0.C_{n + 1}^n + C_n^1.C_{n + 1}^{n - 1} + C_n^2.C_{n + 1}^{n - 2} + ... + C_n^{n - 1}.C_{n + 1}^1 + C_n^n.C_{n + 1}^0 = C_{2n + 1}^n$

Với $n = 9$ ta có: $C_{2n + 1}^n = C_{19}^9 = 92378$

Với $n = 8$ ta có: $C_{2n + 1}^n = C_{17}^8 = 24310$

Với $n = 7$ ta có: $C_{2n + 1}^n = C_{15}^7 = 6435$

Với $n = 6$ ta có: $C_{2n + 1}^n = C_{13}^6 = 1716$

Thay $x = y = 1$  có ${\left( {1 - 2.1} \right)^{2020}} = {\left( { - 1} \right)^{2020}} = 1$.

Vậy tổng các hệ số của tất cả các số hạng trong khai triển nhị thức ${\left( {x - 2y} \right)^{2020}}$ bằng 1.

Xét: ${\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}{x^1} + ... + {a_n}{x^n}.$

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào 2 vế $\Rightarrow {\left( {1 + 2.\dfrac{1}{2}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}\dfrac{1}{2} + ... + {a_n}\dfrac{1}{{{2^n}}}$

$\Leftrightarrow {2^n} = 4096 \Leftrightarrow {2^n} = {2^{12}}$$\Leftrightarrow n = 12$

$\Rightarrow$ Biểu thức là: ${\left( {1 + 2x} \right)^{12}}$

+ Số hạng tổng quát của khai triển là: ${T_{k + 1}} = C_{12}^k{.2^k}.{x^k}$

$+ )$Hệ số lớn nhất $\Leftrightarrow y = C_{12}^k{.2^k}$ max $\left( {0 \le k \le 12} \right)$

Mà hệ số max $\Rightarrow {k_{\max }}$$\Rightarrow$ Muốn $k$ max thì k phải lớn hơn cả số hạng đứng trước nó là (k-1) và lớn hơn cả số hạng đứng sau nó là (k+1)

$\Rightarrow$ Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}C_{12}^{k - 1}{.2^{k - 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(1)\\C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(2)\end{array} \right.$

+ (1) $\Leftrightarrow$$\dfrac{{12!}}{{\left( {k - 1} \right)!\,\,(12 - k + 1)!}}.\dfrac{{{2^k}}}{2} < \dfrac{{12!}}{{k!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}{.2^k}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{(k - 1)!\,\,\left( {13 - k} \right)\left( {12 - k} \right)!}}.\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{{k\left( {k - 1} \right)!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{2.\left( {13 - k} \right)}} < \dfrac{1}{k} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}$

+ (2) ta làm tương tự như trên$\Rightarrow \dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}\\\dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < \dfrac{{26}}{3}\\k > \dfrac{{23}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 8,6\\k > 7,6\end{array} \right.$(Mà k là số nguyên)$\Rightarrow k = 8$

$\Rightarrow$Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức là: $y\left( 8 \right) =$$C_{12}^8{.2^8} = 126720$

${\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{3n}} = C_{3n}^k.{{\rm{x}}^{3n - k}}.{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = C_{3n}^k.{{\rm{x}}^{3n - 3k}} = C_{3n}^0.{x^{3n}} + ... + C_{3n}^{3n}.{x^0}$(*)

+) Tổng các hệ số là: $C_{3n}^0 + .. + C_{3n}^{3n} = 64$

$+ )$Thay $x = 1$ vào cả 2 vế của (*) $\Rightarrow$${2^{3n}} = C_{3n}^0 + ... + C_{3n}^{3n} \Leftrightarrow {2^{3n}} = 64$$\Rightarrow n = 2$

$+ )$Số hạng tổng quát của khai triển là:

${T_{k + 1}} = C_{3n}^k.{x^{3n - k}}.{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}$$= C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {{x^{ - 2}}} \right)^k}$$= C_6^k.{x^{6 - 3k}}$

$+ )$Số hạng không chứa $x$$\Leftrightarrow 6 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 2$

$\Rightarrow$Số hạng không chứa $x$là: $C_6^2 = 15$