Cho (1+2x)n=a0+a1x1+...+anxn. Biết a0+a12+a222+...+an2n=4096. Số lớn nhất trong các số a0,a1,a2,...,an có giá trị bằng
Trả lời bởi giáo viên
Xét: (1+2x)n=a0+a1x1+...+anxn.
Thay x=12 vào 2 vế ⇒(1+2.12)n=a0+a112+...+an12n
⇔2n=4096⇔2n=212⇔n=12
⇒ Biểu thức là: (1+2x)12
+ Số hạng tổng quát của khai triển là: Tk+1=Ck12.2k.xk
+)Hệ số lớn nhất ⇔y=Ck12.2k max (0≤k≤12)
Mà hệ số max ⇒kmax \Rightarrow Muốn k max thì k phải lớn hơn cả số hạng đứng trước nó là (k-1) và lớn hơn cả số hạng đứng sau nó là (k+1)
\Rightarrow Ta có hệ: \left\{ \begin{array}{l}C_{12}^{k - 1}{.2^{k - 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(1)\\C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(2)\end{array} \right.
+ (1) \Leftrightarrow \dfrac{{12!}}{{\left( {k - 1} \right)!\,\,(12 - k + 1)!}}.\dfrac{{{2^k}}}{2} < \dfrac{{12!}}{{k!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}{.2^k}
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{(k - 1)!\,\,\left( {13 - k} \right)\left( {12 - k} \right)!}}.\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{{k\left( {k - 1} \right)!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{2.\left( {13 - k} \right)}} < \dfrac{1}{k} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}
+ (2) ta làm tương tự như trên \Rightarrow \dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}
Từ (1) và (2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}\\\dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < \dfrac{{26}}{3}\\k > \dfrac{{23}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 8,6\\k > 7,6\end{array} \right.(Mà k là số nguyên) \Rightarrow k = 8
\Rightarrow Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức là: y\left( 8 \right) = C_{12}^8{.2^8} = 126720