Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

\((C):{x^2} + {y^2} = 1\)  có tâm \(O(0;0)\) và bán kính \(R = 1\)

Do đó, \(d\) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) khi \(d\left( {I;d} \right) = R\) hay ta có phương trình

\(\dfrac{{|4.0 + 3.0 + m|}}{5} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{|m|}}{5} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 5\)

$(C )$ có tâm \(O(0;0)\) bán kính \(R = \sqrt 2 \). Ta thấy \(M \in (C)\).  Có \(\overrightarrow {OM}  = (1;1)\) là $1$ vector pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M.$ Do đó phương trình tiếp tuyến tại $M$ là: \(1\left( {x - 1} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\)

\(\left( {{C_1}} \right)\) có bán kính \({R_1} = 2\) ; \(\left( {{C_2}} \right)\) có bán kính \({R_2} = 4\)

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x = 0\\{x^2} + {y^2} + 8y = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x = 0\\x =  - 2y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{y^2} + 8y = 0\\x =  - 2y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0,x = 0\\y =  - \dfrac{8}{5},x = \dfrac{{16}}{5}\end{array} \right.\)

Vậy hai đường tròn có tất cả \(2\) điểm chung nên chúng cắt nhau.

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc \({60^o}\)\( \Leftrightarrow \) hệ số góc của tiếp tuyến là \(\tan {60^0}\) hoặc  \(\tan {120^0}\)

Do đó tiếp tuyến \(d\) có dạng $y = \sqrt 3 x + b$ hoặc $y =  - \sqrt 3 x + b$

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x = 0 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 1$ có  tâm $I\left( { - 1;0} \right)$ và bán kính $R = 1$

\(d\)  tiếp xúc với đường tròn $ \Leftrightarrow d(I,d) = R$$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { \pm \sqrt 3 .( - 1) + b} \right|}}{2} = 1$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  \pm 2 + \sqrt 3 }\\{b =  \pm 2 - \sqrt 3 }\end{array}} \right.$

Vậy ta có $4$  tiếp tuyến :

\(\sqrt 3 x - y - 2 + \sqrt 3  = 0,\) $\sqrt 3 x - y + 2 + \sqrt 3  = 0,$ $\sqrt 3 x + y - 2 + \sqrt 3  = 0,$ $\sqrt 3 x + y + 2 + \sqrt 3  = 0$.

Hình ảnh minh họa:

Đường tròn \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \dfrac{7}{2}x - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{7}{4}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{65}}{{16}}\)

\( \Rightarrow \) $\left( C \right)$  có tâm  \(I\left( {\dfrac{7}{4};0} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{\sqrt {65} }}{4}\)

Đường thẳng $AB$  với $A\left( { - 2;0} \right)$ và $B\left( {4;3} \right)$  có phương trình  \(\dfrac{{x + 2}}{6} = \dfrac{y}{3}\) hay \(y = \dfrac{{x + 2}}{2}\)

+ Giao điểm của $\left( C \right)$ với đường thẳng $AB$  có tọa độ là nghiệm hệ PT

\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\\{\rm{y  = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{\left( {\dfrac{{x + 2}}{2}} \right)^2} - 7x - 2 = 0\\{\rm{y  = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x(x - 2) = 0\\{\rm{y  = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y = 1\\x = 2;y = 2\end{array} \right.\)

   Vậy có hai giao điểm là $M\left( {0;1} \right)$  và $N\left( {2;2} \right)$

+ Các tiếp tuyến của $\left( C \right)$  tại $M$  và $N$  lần lượt nhận các vectơ \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - \dfrac{7}{4};1} \right)\) và \(\overrightarrow {IN}  = \left( {\dfrac{1}{4};2} \right)\) làm các vectơ pháp tuyến, do đó các TT đó có phương trình lần lượt là:

\( - \dfrac{7}{4}(x - 0) + 1(y - 1) = 0\) hay \(7x - 4y + 4 = 0\)

 \(\dfrac{1}{4}(x - 2) + 2(y - 2) = 0\) hay \(x + 8y - 18 = 0\)

Tâm $I$ của đường tròn thuộc $\Delta $ nên $I(-3t – 8; t)$

Theo yc thì k/c từ $I$ đến $\Delta '$ bằng k/c $IA$ nên ta có $\dfrac{{\left| {3( - 3t - 8) - 4t + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt {{{( - 3t - 8 + 2)}^2} + {{(t - 1)}^2}} $

\( \Leftrightarrow \left| { - 13t - 14} \right| = 5\sqrt {{{\left( {3t + 6} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {13t + 14} \right)^2} = 25\left( {10{t^2} + 34t + 37} \right)\) \( \Leftrightarrow  - 81{t^2} - 486t - 729 = 0\) \( \Leftrightarrow t =  - 3\)

Khi đó $I(1; -3), R = 5$ và pt cần tìm: ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}25$

Đường tròn $(C):$ ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1$ có tâm $I (1; 0); R = 1$

Ta có $\widehat {IMO} = {30^0}$ suy ra tam giác $IOM $ cân tại $I$ $ \Rightarrow \widehat {MOI} = {30^0}$

Suy ra \(OM\)  có hệ số góc $k =  \pm \tan {30^0} =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

Suy ra phương trình $OM $ là $y =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}x$

Thay vào phương trình đường tròn $(C)$ ta có ${x^2} - 2x + \dfrac{{{x^2}}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0(L)}\\{x = \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.$

Vậy $M\left( {\dfrac{3}{2}; \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;3)$ và bán kính $R=2.$

Ta thấy ngay được điểm $M$ nằm trong đường tròn vì ${\left( {5 - 4} \right)^2} + {\left( {2 - 3} \right)^2} = 2 < 4$

Do $MA=MB $ và $IM$ vuông góc $AB$

Nên đường thẳng $d$ cần tìm đi qua $M(5;2) $ và nhận vectơ $\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến

Phương trình của đường thẳng $d$ là $x - y - 3 = 0$

Bán kính của đường tròn tâm \(I\left( {3;2} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(d:x + 5y + 1 = 0\) là:

\(R = d\left( {I,d} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 5.2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} }} = \dfrac{{14}}{{\sqrt {26} }} = \dfrac{{7\sqrt {26} }}{{13}}.\)

Đường tròn \((C):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính \(R = 2\)

Dễ thấy \(d\left( {I,Oy} \right) = 1 < 2 = R\) nên đường tròn \(\left( C \right)\) cắt trục \(Oy\) tại hai điểm phân biệt.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$  tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính $R$ là :\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Phương trình ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0{\rm{ }}$ với điều kiện ${a^2} + {b^2} - c > 0$, là phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - a; - b} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Do đó đáp án A sai.

\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0,\) là phương trình đường tròn khi \({R^2} = {a^2} + {b^2} - c\). Điều này có nghĩa là \({a^2} + {b^2} - c > 0\)  hay \({a^2} + {b^2} > c\).

Đáp án A: \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \(x^2\) là 1 và của \(y^2\) là 2.

Đáp án B: \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \(x^2\) là 4 và của \(y^2\) là 1.

Đáp án C: \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\) có \(a = 1\,\,,b = 4,\,\,c = 20\).

Ta thấy \({a^2} + {b^2} =1^2+4^2=17 < 20 = c\). Đây không phải là một phương trình đường tròn.

Đáp án D: \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\) có \(a = 2,\,\,b =  - 3,\,\,c =  - 12\).

Ta thấy \({a^2} + {b^2} =2^2+(-3)^2=13 > -12 = c\). Đây là một phương trình đường tròn.

\({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) có hệ số \(a = 1,b =  - 2,c = 1\)  sẽ có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} - 1}  = 2\)

\((C):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\) có \(a =  - 1,\,\,b =  - 2,c =  - 20\) sẽ có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20}  = 5\). 

Thay tọa độ các điểm ở đáp án C và D vào phương trình đường tròn ta thấy hai đáp án đều đúng.

Suy ra mệnh đề sai là mệnh đề ở đáp án A.

Gọi đường tròn có phương trình ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,\left( C \right)$

$A,\,B,\,C \in \left( C \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 + 8b + c = 0\\20 + 4a + 8b + c = 0\\16 + 8a + c = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 1\\c =  - 8\end{array} \right. \to I\left( {1;1} \right)$

\({x^2} + {y^2} = 1.\) Thay \(x = 0,y = 0\) ta có \({0^2} + {0^2} = 1\) là mệnh đề A sai.

\({x^2} + {y^2} - x - y + 2 = 0\). Thay \(x = 0,y = 0\) ta có \(2 = 0\) là mệnh đề B sai.

\({x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 8 = 0.\) Thay \(x = 0,y = 0\) ta có \(8 = 0\) là mệnh đề C sai.

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25.\) Thay \(x = 0,y = 0\) ta có \({\left( { - 3} \right)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 25\) là mệnh đề đúng. Vậy \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25.\) đi qua gốc tọa độ.

Ta có: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 + 4} \right)}^2}}  = \sqrt {50} \)

Phương trình đường tròn $(C)$ có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\)  có bán kính \(R = \sqrt {50} \) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 50.\)

\(\left( C \right):\left\{ \begin{array}{l}I\left( {0;0} \right)\\R = 1\end{array} \right. \) \( \to \left( C \right):{(x-0)^2} + {(y-0)^2} = 1 \) \(\to \left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1.\)