Cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j \) thì tọa độ véc tơ \(\overrightarrow a \) là:
Vì \(\overrightarrow a = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow a = \left( {m;n} \right)\).
Cho các vectơ $\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow v = \left( {{v_1};{v_2}} \right)$. Điều kiện để vectơ $\overrightarrow u \, = \overrightarrow v $ là
Ta có: $\overrightarrow u \, = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {v_1}\\{u_2} = {v_2}\end{array} \right.$.
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng:
Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) suy ra \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^0}\)
Do đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos {0^{\rm{o}}} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) nên chọn A.
Cho \(\overrightarrow u = \left( { - 1;0} \right)\) thì:
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 1} \right).\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j = - \overrightarrow i \)
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và ${\rm{ }}B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ là
Theo công thức tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.
Cho điểm \(M\left( { - 3;1} \right)\), khi đó:
Vì \(M\left( { - 3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 3;1} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( {5;2} \right),B\left( {10;8} \right)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow {AB} $ là:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {10 - 5;8 - 2} \right) = \left( {5;6} \right)$.
Cho điểm \(M\left( {2; - 4} \right)\), khi đó:
Vì \(M\left( {2; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: $\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right) = - \left( { - 2;1} \right) = - \overrightarrow v \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ đối nhau.
Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(BC = 6\) và đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\) sao cho \(BH = 2HC\). Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)
Ta có:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HB} } \right).\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \) \( = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} = HB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) \( = \dfrac{2}{3}BC.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) \( = \dfrac{2}{3}.6.6.\cos {180^0} = - 24\)
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right){\rm{,B}}\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:
Ta có: $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.$
Vậy $I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$.
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
Ta có: $\overrightarrow a = \dfrac{5}{4}\overrightarrow b $ suy ra $\overrightarrow a $ cùng hướng với $\overrightarrow b $.
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a = 2\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.
Phương án A:\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC\cos {60^{\rm{o}}} = 2 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \) nên loại A.
Phương án B:\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = BC.AC\cos {120^{\rm{o}}} = - 2\) nên loại B.
Phương án C:\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 4\) nên chọn C.
Phương án D: $\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( { - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BA} = B{A^2} = 4$ nên loại D.
Cho hai điểm $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0; - 2} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là:
Ta có:
Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là: $I = \left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{{1 + 0}}{2};\dfrac{{0 + ( - 2)}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$
Cho $\overrightarrow a = \left( {x;2} \right),\overrightarrow b = \left( { - 5;1} \right),\overrightarrow c = \left( {x;7} \right)$. Vec tơ $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b $ nếu:
Ta có: $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x + 3.\left( { - 5} \right)\\7 = 2.2 + 3.1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 15$.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(\widehat A = {120^0}\) và \(AB = a\). Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \)
Ta có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} = BA.CA.\cos {120^{\rm{o}}} = - \dfrac{1}{2}{a^2}\).
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),{\rm{ }}B\left( {{x_B};{y_B}} \right) và {\rm{ }}C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$
Cho \(\overrightarrow a = (0,1)\),\(\overrightarrow b = ( - 1;2)\),\(\overrightarrow c = ( - 3; - 2)\). Tọa độ của \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 4\overrightarrow c \)
Ta có: \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 4\overrightarrow c = \left( {3.0 + 2.( - 1) - 4.( - 3);3.1 + 2.2 - 4.( - 2)} \right) = \left( {10;15} \right)\).
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
Phương án A:\(\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\) nên loại A.
Phương án B: $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} .\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} $ nên loại B.
Phương án C: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos {45^{\rm{o}}} \) \(= AB.AB\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = AB.DC.\cos {180^0} = - A{B^2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \) nên chọn C.
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm là gốc tọa độ $O$, hai đỉnh $A$ và $B$ có tọa độ là $A\left( { - 2;2} \right)$;$B\left( {3;5} \right)$. Tọa độ của đỉnh $C$ là:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_O} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{ - 2 + 3 + {x_C}}}{3}\\0 = \dfrac{{2 + 5 + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 1\\{y_C} = - 7\end{array} \right.$