Tọa độ của vecto

Vì $\overrightarrow a  = m\overrightarrow i  + n\overrightarrow j$ nên $\overrightarrow a  = \left( {m;n} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow u \, = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {v_1}\\{u_2} = {v_2}\end{array} \right.$.

Vì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ suy ra $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^0}$

Do đó $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos {0^{\rm{o}}} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$ nên chọn A.

$\overrightarrow u  = \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( { - 1} \right).\overrightarrow i  + 0.\overrightarrow j  =  - \overrightarrow i$

Theo công thức tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

Vì $M\left( { - 3;1} \right)$ nên $\overrightarrow {OM}  = \left( { - 3;1} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {10 - 5;8 - 2} \right) = \left( {5;6} \right)$.

Vì $M\left( {2; - 4} \right)$ nên $\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j$.

Ta có: $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right) =  - \left( { - 2;1} \right) =  - \overrightarrow v \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ đối nhau.

Ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HB} } \right).\overrightarrow {BC}$$= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}$ $= \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}  = HB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ $= \dfrac{2}{3}BC.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ $= \dfrac{2}{3}.6.6.\cos {180^0} =  - 24$

Ta có: $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.$

Vậy $I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow a  = \dfrac{5}{4}\overrightarrow b$ suy ra $\overrightarrow a$ cùng hướng với $\overrightarrow b$.

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.

Phương án  A:$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC\cos {60^{\rm{o}}} = 2 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BC}$ nên loại A.

Phương án B:$\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  = BC.AC\cos {120^{\rm{o}}} =  - 2$ nên loại B.

Phương án C:$\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = 4$ nên chọn C.

Phương án D: $\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( { - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BA} = B{A^2} = 4$ nên loại D.

Ta có:

Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là: $I = \left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{{1 + 0}}{2};\dfrac{{0 + ( - 2)}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$

Ta có: $\overrightarrow c  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x + 3.\left( { - 5} \right)\\7 = 2.2 + 3.1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 15$.

Ta có $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  = BA.CA.\cos {120^{\rm{o}}} =  - \dfrac{1}{2}{a^2}$.

Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

Ta có: $\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c  = \left( {3.0 + 2.( - 1) - 4.( - 3);3.1 + 2.2 - 4.( - 2)} \right) = \left( {10;15} \right)$.

Phương án  A:$\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB}$ suy ra $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0$ nên loại A.

Phương án  B: $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} .\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC}$ nên loại B.

Phương án  C:  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos {45^{\rm{o}}}$ $= AB.AB\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.DC.\cos {180^0} =  - A{B^2}$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}$ nên chọn C.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_O} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{ - 2 + 3 + {x_C}}}{3}\\0 = \dfrac{{2 + 5 + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 1\\{y_C} =  - 7\end{array} \right.$