Tọa độ của vecto

Ta có: $\overrightarrow {OD}  + 2\overrightarrow {DA}  - 2\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 0 + 2\left( {0 - {x_D}} \right) - 2\left( {4 - {x_D}} \right) = 0\\{y_D} - 0 + 2\left( {3 - {y_D}} \right) - 2\left( {2 - {y_D}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} =  - 2\end{array} \right.$.

Phương án  A: Do $\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB}  = DA.CB.\cos {0^0} = {a^2}$ nên loại A đúng, loại A.

Phương án  B: Do $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.CD.\cos {180^{\rm{o}}} =  - {a^2}$ nên B đúng, loại B.

Phương án C: $\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = A{C^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}$ nên C sai, chọn C.

Phương án D: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD}  = 0$ đúng vì $AB \bot AD,CB \bot CD$

Ta có: $M\left( {2;0} \right)$ là trung điểm $BC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}2 = \dfrac{{{x_B} + ( - 2)}}{2}\\0 = \dfrac{{{y_B} + ( - 4)}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {6;4} \right)$

$G\left( {0;4} \right)$là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{{x_A} + 6 + ( - 2)}}{3}\\4 = \dfrac{{{y_A} + 4 + ( - 4)}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 4\\{y_A} = 12\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 4;12} \right)$

Ta có: $\overrightarrow a  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow a \left( {3; - 4} \right)$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5$ nên A đúng.

$\overrightarrow b  = \overrightarrow i  - \overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow b \left( {1; - 1} \right)$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2$ nên D đúng, B sai.

Ngoài ra $\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {2; - 3} \right)$ nên C đúng.

Ta có: $E$ đối xứng với $C$ qua $B \Leftrightarrow B$ là trung điểm đoạn thẳng $EC$

Do đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5 = \dfrac{{{x_E} + 3}}{2}\\ - 4 = \dfrac{{{y_E} + 7}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 7\\{y_E} =  - 15\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {7; - 15} \right)$

Ta có: $M$ trên trục $Oy \Rightarrow M\left( {0;y} \right)$

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow {AB}$ cùng phương với $\overrightarrow {AM}$

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;4} \right),\,\,\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1;y - 2} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow {AB}$ cùng phương với $\overrightarrow {AM}  \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 2}}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{10}}{3}$.

Vậy $M\left( {0;\dfrac{{10}}{3}} \right)$

Ta có:

$B'$ đối xứng với $B\left( { - 2;7} \right)$ qua trục $Ox \Rightarrow B'\left( { - 2; - 7} \right)$.

$B''$ đối xứng với $B\left( { - 2;7} \right)$ qua trục $Oy \Rightarrow B''\left( {2;7} \right)$.

$B'''$ đối xứng với $B\left( { - 2;7} \right)$ qua gốc tọa độ $O \Rightarrow B'''\left( {2; - 7} \right)$.

Ta có: $A \in Ox,B \in Oy \Rightarrow A\left( {x;0} \right),B\left( {0;y} \right)$

$A$ là trung điểm $KB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + 0}}{2}\\0 = \dfrac{{ - 3 + y}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = 3\end{array} \right.$.Vậy $B\left( {0;3} \right)$.

Ta có: $P$ thuộc trục $Oy \Rightarrow P\left( {0;y} \right)$, $G$ nằm trên trục $Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)$

$G$ là trọng tâm tam giác $MNP$nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \dfrac{{( - 1) + ( - 3) + y}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.$

Vậy $P\left( {0;4} \right)$.