Trong tam giác \(ABC\) có:
Ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$
Trong tam giác\(ABC\) có
Ta có: \(\dfrac{a}{{\sin \,A}} = \dfrac{b}{{\sin \,B}} = \dfrac{c}{{\sin \,C}} = 2R \Rightarrow a = 2R\sin A.\)
Trong tam giác $ABC$ ta có:
Ta có: \(\dfrac{a}{{\sin \,A}} = \dfrac{b}{{\sin \,B}} = \dfrac{c}{{\sin \,C}} = 2R \Rightarrow a\sin B = b\sin A.\)
Trong tam giác $ABC$, ta có.
Ta có \(\dfrac{1}{2}a.{h_a} = \dfrac{{abc}}{{4R}}\). Suy ra \({h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}.\) hay \(bc = 2R.{h_a}\).
Trong tam giác $ABC$, tìm hệ thức sai.
+ ) \(\dfrac{1}{2}a.{h_a} = \dfrac{1}{2}ab.\sin C = \dfrac{1}{2}ac.\sin B\)
Suy ra \({h_a} = b.\sin C = c.\sin B\). Suy ra mệnh đề đáp án A và B đúng.
+ ) \(\dfrac{1}{2}c.{h_c} = \dfrac{1}{2}ab.\sin C\). Suy ra \(c.{h_c} = ab.\sin C\). Suy ra mệnh đề đáp án D đúng.
Cho tam giác $ABC$ có \(\widehat B = {60^0},\widehat C = {45^0}\) và $AB = 5$. Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài của cạnh $AC$?
\(\dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \dfrac{c}{{\sin C}}.\sin B = \dfrac{5}{{\sin {{45}^0}}}.\sin {60^0} = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{2}.\)
Cho tam giác $ABC$ có $b = 10,c = 16$ và góc \(\widehat A = {60^0}\). Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài của cạnh $BC$?
$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\ = {10^2} + {16^2} - 2.10.16.\cos {60^0}\\ = {\rm{ }}196\end{array}$ .
Suy ra \(BC = a = \sqrt {196} = 14\).
Tam giác \(ABC\) có đoạn thẳng nối trung điểm của \(AB\) và \(BC\) bằng \(3\), cạnh \(AB = 9\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh cạnh \(BC\).
Bước 1: Tính \(AC\)
Gọi \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;BC\).
\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
\( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}AC\). Mà \(MN = 3\), suy ra \(AC = 6\).
Bước 2: Sử dụng định lý cô sin cho tam giác \(ABC\)
Theo định lí hàm cosin, ta có
\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos \widehat {ACB}\\ \Leftrightarrow {9^2} = {6^2} + B{C^2} - 2.6.BC.\cos 60^\circ \\ \Rightarrow BC = 3 + 3\sqrt 6 \end{array}\)
Tam giác $ABC$ có ba cạnh là $5,12,13$. Khi đó, diện tích tam giác là:
+ Ta có \(p = \dfrac{{a + b + c}}{2} = \dfrac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15\)
+ \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {15.10.3.2} = \sqrt {900} = 30\)
Tam giác $ABC$ có $BC = a,CA = b,AB = c$ và có diện tích $S$ . Nếu tăng cạnh $BC$ lên $2$ lần đồng thời tăng cạnh $CA$ lên $3$ lần và giữ nguyên độ lớn của góc $C$ thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo nên bằng:
+ Có \(S = \dfrac{1}{2}BC.CA.\sin C\)
+ Gọi $S'$ là diện tích tam giác khi tăng cạnh $BC$ lên $2$ lần đồng thời tăng cạnh $CA$ lên $3$ lần và giữ nguyên độ lớn của góc $C$ , ta có: \(S' = \dfrac{1}{2}.2BC.3CA.\sin C = 6S\)
Tam giác $ABC$ có $BC = 10$ và \(\widehat A = {30^0}\). Khi đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là:
Từ \(\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{{BC}}{{2\sin A}} = \dfrac{{10}}{{2\sin {{30}^0}}} = 10\)
Tam giác vuông cân tại $A$ có $AB = 2a$. Đường trung tuyến $BM$ có độ dài là:
+ Ta có $AB = AC = 2a$ .
+ Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a\)
+ \(MB_{}^2 = \dfrac{{B{C^2} + A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{{8{a^2} + 4{a^2}}}{2} - \dfrac{{4{a^2}}}{4} = 5{a^2} \Rightarrow MB = a\sqrt 5 \)
Nếu tam giác $ABC$ có \({a^2} < {b^2} + {c^2}\) thì
Ta có \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Theo giả thiết \({a^2} < {b^2} + {c^2} \Rightarrow \cos A > 0\).
Vậy góc $A$ nhọn.
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8cm,AC = 18cm$ và có diện tích bằng \(64c{m^2}\). Giá trị $\sin \widehat A$ là:
Ta có \(S = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A \Rightarrow \sin A = \dfrac{{2S}}{{AB.AC}} = \dfrac{{2.64}}{{8.18}} = \)\(\dfrac{8}{9}\)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4cm,BC = 7cm,CA = 9cm$. Giá trị $\cos A$ là:
Ta có \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{{9^2} + {4^2} - {7^2}}}{{2.9.4}} = \dfrac{2}{3}\)
Tam giác $ABC$ có ba cạnh là $6,8,10$ . Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là:
+ Ta có \(p = \dfrac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\)
+ \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)=\(\sqrt {12.6.4.2} = 24\)
+ \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{24}}{{12}} = 2\)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5cm,BC = 13cm$. Gọi góc \(\widehat {ABC} = \alpha \) và \(\widehat {ACB} = \beta \) . Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh \(\alpha \) và \(\beta \).
+ Có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12\)
+ \(\dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \dfrac{{\sin C}}{{\sin B}} = \dfrac{c}{b} = \dfrac{5}{{12}} < 1\) (*)
+ Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , suy ra $B$ và $C$ là góc nhọn. Do đó \(\sin B > 0\) và \(\sin C > 0\).
Từ (*) suy ra \(\sin C < \sin B\) . Suy ra $C < B$ hay \(\beta < \alpha \).
Cho góc \(\widehat {xOy} = 30^\circ \). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên \(Ox\) và \(Oy\) sao cho \(AB = 1\). Độ dài lớn nhất của đoạn \(OB\) bằng:
Bước 1: Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác \(OAB\) tìm OB
Theo định lí hàm sin, ta có:
\(\dfrac{{OB}}{{\sin \widehat {OAB}}} = \dfrac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}\)\( \Leftrightarrow OB = \dfrac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}.\sin \widehat {OAB}\) \( = \dfrac{1}{{\sin 30^\circ }}.\sin \widehat {OAB} = 2\sin \widehat {OAB}\)
Bước 2: Đánh giá GTLN của \(OB\).
Do đó, độ dài \(OB\) lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin \widehat {OAB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {OAB} = 90^\circ \).
Khi đó \(OB = 2\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = c,\;AC = b\). Gọi \({\ell _a}\) là độ dài đoạn phân giác trong góc \(\widehat {BAC}\). Tính \({\ell _a}\) theo \(b\) và \(c\).
Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \).
Do \(AD\) là phân giác trong của \(\widehat {BAC}\)
\( \Rightarrow BD = \dfrac{{AB}}{{AC}}.DC\)\( = \dfrac{c}{b}.DC = \dfrac{c}{{b + c}}.BC = \dfrac{{c\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}\).
Theo định lí hàm cosin, ta có
\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \widehat {ABD}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} = {c^2} + A{D^2} - 2c.AD.\cos 45^\circ \)
\( \Rightarrow A{D^2} - c\sqrt 2 .AD + \left( {{c^2} - \dfrac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow A{D^2} - c\sqrt 2 .AD + \dfrac{{2b{c^3}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} = 0\)
\( \Rightarrow AD = \dfrac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}\) hay \({\ell _a} = \dfrac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}\).
