Bài tập cuối chương IX

Gọi I là trung điểm của AB ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{4 + 1}}{2} = \dfrac{5}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{ - 1 - 4}}{2} =  - \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right)$

$\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 3} \right) =  - 3\left( {1;1} \right) \Rightarrow$ Đường trung trực của AB đi qua điểm $I\left( {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right)$ và nhận vector $\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)$ là 1 VTPT nên có phương trình $1\left( {x - \dfrac{5}{2}} \right) + 1\left( {y + \dfrac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = 0$

Ta có ${\overrightarrow n _{{\Delta _1}}} = \left( {11; - 12} \right),\,\,{\overrightarrow n _{{\Delta _2}}} = \left( {12;11} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{{\Delta _1}}}.{\overrightarrow n _{{\Delta _2}}} = 11.12 - 12.11 = 0 \Rightarrow {\overrightarrow n _{{\Delta _1}}} \bot {\overrightarrow n _{{\Delta _2}}} \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}$

Gọi M là trung điểm của BC ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \dfrac{{0 + 4}}{2} = 2\\{y_M} = \dfrac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;0} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow$ Đường thẳng AM đi qua A và nhận $\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)$ là 1 VTPT. Khi đó phương trình đường thẳng AB là $1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0$

Gọi M là trung điểm của AB, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 1}}{2} = 1\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{ - 4 + 2}}{2} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right)$

$\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right) = 6\left( {0;1} \right)$

$\Rightarrow$ Đường trung trực của AB đi qua M và nhận $\overrightarrow n \left( {0;1} \right)$ là 1 VTPT nên có phương trình $0\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 1 = 0$

Gọi $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ là vec tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos {\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow i } \right)} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.1 + b.0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} \\ = \dfrac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = c{\rm{os6}}{{\rm{0}}^0} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left| a \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow 4{a^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} = {b^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\sqrt 3 \\b =  - \sqrt 3 a\end{array} \right.\end{array}$

TH1: $b = \sqrt 3 a \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right) = \left( { - \sqrt 3 a;a} \right) =  - a\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)$

$\Rightarrow$ Đường thẳng d nhận $\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)$ là 1 VTPT, do đó đường thẳng d có phương trình: $\sqrt 3 \left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - \sqrt 3 } \right) = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt 3 x - y = 0$

TH2: $b =  - \sqrt 3 a \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right) = \left( {\sqrt 3 a;a} \right)$ $= a\left( {\sqrt 3 ;1} \right)$

$\Rightarrow$ Đường thẳng $d$ nhận $\left( {\sqrt 3 ;1} \right)$ là 1 VTPT, do đó đường thẳng d có phương trình: $\sqrt 3 \left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - \sqrt 3 } \right) = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt 3 x + y - 2\sqrt 3  = 0$

Dựa vào các đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác ABC cân tại A nên A và M đối xứng nhau qua đường trung bình DN: x + y – 4 = 0. Đường thẳng $AM \bot DN$ và đi qua A có phương trình $x - y = 0$ .

$I = d \cap AM \Rightarrow$ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2 \Rightarrow I\left( {2;2} \right) \Rightarrow M\left( { - 2; - 2} \right)$

Đường thẳng BC đi qua M và song song với DN có phương trình x + y + 4 = 0 $\Rightarrow$ Tọa độ đỉnh B có dạng $B\left( {t; - 4 - t} \right)$, C đối xứng với B qua M $\Rightarrow C\left( { - 4 - t;t} \right)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {CE}  = \left( {t + 5; - 3 - t} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( {t - 6; - t - 10} \right)\\AB \bot CE \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CE}  = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 5} \right)\left( {t - 6} \right) + \left( { - 3 - t} \right)\left( { - t - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - t - 30 + {t^2} + 13t + 30 = 0\\ \Leftrightarrow 2{t^2} + 12t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\left( {0; - 4} \right)\\C\left( { - 4;0} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 6;2} \right)\\C\left( {2; - 6} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$

Giả sử điểm $I\left( {{x_I};{y_I}} \right)$ là tâm của đường tròn (C). Vì I nằm trên đường thẳng $x - 2y + 5 = 0$ nên ta có ${x_I} - 2{y_I} + 5 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm $A\left( {0;4} \right),\,\,B\left( {2;6} \right)$ nên ta có $IA = IB$. Điều này tương đương với $I{A^2} = I{B^2}$  hay ${\left( {{x_I}} \right)^2} + {\left( {4 - {y_I}} \right)^2} = {\left( {2 - {x_I}} \right)^2} + {\left( {6 - {y_I}} \right)^2} \Leftrightarrow {x_I} + {y_I} - 6 = 0\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 2{y_I} + 5 = 0\\{x_I} + {y_I} - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{7}{3}\\{y_I} = \dfrac{{11}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{{11}}{3}} \right)$.

Mặt khác ta có $R = IA = \sqrt {{{\left( {\dfrac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{11}}{3} - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{{50}}{9}}$

Vậy (C) có dạng $\left( C \right):{\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{{11}}{3}} \right)^2} = \dfrac{{50}}{9}$

Đáp án A: ${x^2} + {y^2} - 17x + 21y + 84 = 0$. Ta thay $A\left( {1;4} \right)$ vào phương trình có ${1^2} + {4^2} - 17.1 + 21.4 + 84 = 0$ là mệnh đề sai. Loại A

Đáp án B: ${x^2} + {y^2} + 17x - 21y + 84 = 0$. Ta thay $A\left( {1;4} \right)$ vào phương trình có ${1^2} + {4^2} + 17.1 - 21.4 + 84 = 0$ là mệnh đề sai. Loại B

Đáp án C: ${x^2} + {y^2} - 17x + 21y - 84 = 0$. Ta thay $A\left( {1;4} \right)$ vào phương trình có ${1^2} + {4^2} - 17.1 + 21.4 - 84 = 0$ là mệnh đề đúng.

+ Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C của tam giác bằng cách lần lượt giải các hệ phương trình:

+) $\left\{ \begin{array}{l}3y = x\\y = x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\2y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3; - 1} \right).$

+) $\left\{ \begin{array}{l}3y = x\\y = 8 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\4y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 6\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {6;2} \right).$

+) $\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\y = x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\0 = 6 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {3;5} \right).$

Đáp án A: ${x^2} + {y^2} - 3x - y + 20 = 0$. Ta thay $A\left( { - 3; - 1} \right)$ vào phương trình có ${\left( { - 3} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 3\left( { - 3} \right) - \left( { - 1} \right) + 20 = 0$ là mệnh đề sai. Loại A

Đáp án B: ${x^2} + {y^2} - 3x - y - 20 = 0$. Ta thay $A\left( { - 3; - 1} \right)$ vào phương trình có ${\left( { - 3} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 3\left( { - 3} \right) - \left( { - 1} \right) - 20 = 0$ là mệnh đề đúng.

Ta thay $B\left( {6;2} \right)$ vào phương trình có ${6^2} + {2^2} - 3.6 - 2 - 20 = 0$ là mệnh đề đúng

Ta thay $C\left( {3;5} \right)$ vào phương trình có ${3^2} + {5^2} - 3.3 - 5 - 20 = 0$ là mệnh đề đúng.

$\left( C \right)$ tiếp xúc ${\rm{Oy}} \Rightarrow R = d\left( {I,{\rm{Oy}}} \right)$. Mặt khác $I\left( {5; - 2} \right) \Rightarrow R = \left| 5 \right| = 5$

$\left( C \right)$ tâm $I(5; - 2),\,R = 5 \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {5^2}$

${x^2} - 10x + 25 + {y^2} + 4y + 4 = 25$

${x^2} + {y^2} - 10x + 4y + 4 = 0$

Vì $I\,\,\left( {{x_I} > 0} \right)$ nên ta loại đáp án C và D.

Vì $I\,\,\left( {{x_I} > 0} \right)$ nằm trên đường thẳng $y =  - x$ nên loại được đáp án A. Vì đường tròn ở đáp án A có tâm là $I(3;3)$

Giả sử đường tròn có tâm $I(a;b)$

Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $(d):2x + y - 3 = 0$  tại $B(1;1)$ nên ta có: $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0$.

 Mà $\overrightarrow {BI}  = \left( {a - 1;b - 1} \right),\overrightarrow {{u_d}}  = (1; - 2)$  nên ta có

$1\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì đường tròn qua $A\left( {3;3} \right)$ nên ta có $R = IA = IB$.

$IA = IB \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \Leftrightarrow  - 4a - 4b + 16 = 0 \Leftrightarrow a + b = 4\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 1 = 0\\a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{7}{3}\\b = \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3}} \right)$

Ta có $R = BI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{7}{3} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{5}{3} - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{{20}}{9}}$

Vậy ta có phương trình ${\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{5}{3}} \right)^2} = \dfrac{{20}}{9}$

(C) có tâm $I( - 1;4)$ và $R = \sqrt {1 + {4^2} + 8}  = 5$

 Phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ nên có dạng $\Delta :$$3x + 4y + c = 0\,\,\left( {c \ne  - 2} \right)$

Gọi M là hình chiếu vuông góc của I xuống cạnh AB. Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\AM = MB = \dfrac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AIM ta có

$A{I^2} = I{M^2} + A{M^2}$ $\Leftrightarrow I{M^2} = A{I^2} - A{M^2} = {5^2} - {3^2} = {4^2}$ $\Rightarrow IM = 4$

Ta cũng có:

$IM = d\left( {I;\Delta } \right) \Leftrightarrow 4 = \dfrac{{\left| {3\left( { - 1} \right) + 4.4 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} \\ \Leftrightarrow \left| {c + 13} \right| = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c + 13 = 20\\c + 13 =  - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c =  - 33\end{array} \right.$

Vậy $\Delta :$ $3x + 4y + 7 = 0$ hoặc $\Delta :$ $3x + 4y - 33 = 0$

Giả sử đường tròn (C) có tâm $I\left( {a,b} \right)$

$\left( C \right)$ tiếp xúc ${\rm{Ox}}, Oy \Rightarrow R = d\left( {I,{\rm{Ox}}} \right) = d\left( {I,Oy} \right) \Rightarrow R = \left| b \right| = \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a =  - b\end{array} \right.$

Vì đường tròn (C)  đi qua $M\left( {4;2} \right)$ nên ta có $R = IM = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}$

TH1: Nếu $a = b$, ta có  $\sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {a - 2} \right)}^2}}  = \left| a \right|$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 12a + 20}  = \left| a \right| \Leftrightarrow 2{a^2} - 12a + 20 = {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10\\a = 2\end{array} \right.\end{array}$

TH2: Nếu $a =  - b$, ta có  $\sqrt {{{\left( { - b - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}  = \left| b \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt {2{b^2} + 4b + 20}  = \left| b \right| \Leftrightarrow 2{b^2} + 4b + 20 = {b^2} \Leftrightarrow {b^2} + 4b + 20 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vì (C) có bán kính lớn  nhất nên chọn $R = \left| a \right| = 10$

$\left( C \right)$ tâm $I\left( {10;10} \right);\,\,R = 10 \Rightarrow \left( C \right): {\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100$

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right. \to A\left( { - 1;1} \right)$ $\to d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {10} }}.$

$d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5$ $\Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1}$ $\Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$

PTĐT $\left( d \right)$ được viết dưới dạng: $y - 2 = k\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow kx - y + 2-k = 0$

Vì $\left( d \right)$ hợp với $\left( \Delta  \right)$một góc ${45^0}$nên: ${\rm{cos 4}}{{\rm{5}}^0} = \dfrac{{|3k + ( - 1).( - 2)|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }}$$\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{|3k + 2|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{k^2} + 1} }}$$\Leftrightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13.({k^2} + 1)}}$

$\Leftrightarrow 5{k^2} + 24k - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{5}\\k =  - 5\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( d \right)$ là: $\dfrac{1}{5}x - y + 2 - \dfrac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow x - 5y + 9 = 0$

 hay $- 5x - y + 2 - ( - 5) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 7 = 0$

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

Độ dài trục lớn là 12, suy ra $2a = 12$  hay $a = 6$

Độ dài trục nhỏ là 8, suy ra $2b = 8$  hay $b = 4$

Vậy elip cần tìm là $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

Elip có  hai đỉnh là $A(5;0)$ và $B(0;3)$ suy ra $a = 5$ và $b = 3$. Do đó, phương trình chính tắc của elip là:$\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$