Phương trình đường tròn tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(d\) có phương trình \(x - 2y + 5 = 0\) và đi qua hai điểm \(A\left( {0;4} \right),\,B\left( {2;6} \right)\) là:

Giả sử điểm \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\) là tâm của đường tròn (C). Vì I nằm trên đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) nên ta có \({x_I} - 2{y_I} + 5 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm $A\left( {0;4} \right),\,\,B\left( {2;6} \right)$ nên ta có \(IA = IB\). Điều này tương đương với \(I{A^2} = I{B^2}\)  hay ${\left( {{x_I}} \right)^2} + {\left( {4 - {y_I}} \right)^2} = {\left( {2 - {x_I}} \right)^2} + {\left( {6 - {y_I}} \right)^2} \Leftrightarrow {x_I} + {y_I} - 6 = 0\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 2{y_I} + 5 = 0\\{x_I} + {y_I} - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{7}{3}\\{y_I} = \dfrac{{11}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{{11}}{3}} \right)\).

Mặt khác ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {\dfrac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{11}}{3} - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{{50}}{9}} \)

Vậy (C) có dạng \(\left( C \right):{\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{{11}}{3}} \right)^2} = \dfrac{{50}}{9}\)