Anten vệ tinh parabol ở sau có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng anten là 240 cm, khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới miệng anten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten.
B.\(23,26\) cm
B.\(23,26\) cm
B.\(23,26\) cm
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh anten và trục Ox đi qua đầu thu.
Giả sử phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = 2px{\rm{ }}\left( {p > 0} \right).\)
Theo hình vẽ, khi $x = p + 130$ thì $y = 120$ hoặc $y = –120$
Do đó \({120^2}\; = 2p\left( {\;\dfrac{p}{2}\; + {\rm{ }}130} \right) \Rightarrow \;p \approx 46,92.\)
Khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten là:
\(\dfrac{p}{2} \approx \dfrac{{46,92}}{2} = 23,26\,\,\left( {cm} \right).\)
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = {\rm{ }}8x.\)
Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol.
Có $2p=8 ⇒ p=4$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0).
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = {\rm{ }}8x.\)
Tìm phương trình đường chuẩn của parabol.
Có 2p = 8 ⇒ p = 4 ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = {\rm{ }}8x.\)
Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.
Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có \({4^2}\; = 8x \Rightarrow \;x = 2.\)
Vậy M(2; 4).
Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là \(MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 2 + \dfrac{4}{2} = 4.\)
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = 12x.\)
Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol.
Có $2p=12 ⇒ p=6$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0).
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = 12x.\)
Tìm phương trình đường chuẩn của parabol.
Có $2p = 12 ⇒ p = 6$ ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = 12x.\)
Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có hoành độ bằng 5.
Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là
\(MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 5 + \dfrac{6}{2} = 8.\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(A\left( {\dfrac{1}{4};0} \right)\) và đường thẳng \(d:x + \dfrac{1}{4} = 0\). Viết phương trình của đường (P) là tập hợp tâm M(x; y) của các đường tròn (C) di động nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.
A.\({y^2} = x\)
A.\({y^2} = x\)
A.\({y^2} = x\)
Có \(MA = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)}^2} + {{\left( {0 - y} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)}^2} + {y^2}} \)
Khoảng cách từ M đến d là: \(d\left( {M;{\rm{ }}d} \right) = \;\mid x + \dfrac{1}{4}\mid \)
Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d ⇔ MA = d(M; d)
\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \dfrac{1}{4}} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)^2} + {y^2} = {\left| {x + \dfrac{1}{4}} \right|^2}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{16}} - \dfrac{x}{2} + {x^2}} \right) + {y^2} = {x^2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{{16}}\\ \Leftrightarrow {y^2} = x\end{array}\)
Vậy (P) là một parabol có phương trình \({y^2}\; = x.\)
Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.
Viết phương trình chính tắc của parabol (P).
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.
Gọi phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right).\)
Gọi F là tiêu điểm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A.
Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là:
\(\;AF = \;x + \dfrac{p}{2} \ge \;\dfrac{p}{2}\;\)(vì \(x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\))\(\)
⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là \(\dfrac{p}{2}\) (km)\(\)
\( \Rightarrow \dfrac{p}{2} = 112 \Rightarrow p = 224.\)
Vậy phương trình chính tắc của (P) là \({y^2}\; = 448x.\)
Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.
Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).
Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là \(x = \dfrac{p}{2}\)
Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là:
\(AF = \;x + \dfrac{p}{2} = \dfrac{p}{2} + \dfrac{p}{2} = p = 224\left( {km} \right).\)
Mặt cắt của gương phản chiếu của một đèn pha có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc \({y^2}\; = 6x\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;\sqrt 6 } \right)\) trên gương đến tiêu điểm của (P) (với đơn vị trên hệ trục toạ độ là xentimét).
A. 2,5cm
A. 2,5cm
A. 2,5cm
Có $2p = 6$, suy ra $p = 3$.
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;\sqrt 6 } \right)\) trên gương đến tiêu điểm của (P) là:
\(MF = \;x + \dfrac{p}{2} = 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5\)(cm)
Các vật liệu xây dựng đều có hệ số dãn nở. Vì thế, khi đặt dầm cầu, người ta thường đặt cố định một đầu dầm, đầu còn lại đặt trên một con lăn có thể di động được nhằm giải quyết sự dãn nở của vật liệu. Hình 21 minh hoạ một dầm cầu được đặt ở hai bờ kênh, giới hạn bởi hai cung parabol có cùng trục đối xúmg. Người ta thiết kế các thanh giằng nối hai cung parabol đó sao cho các thanh giằng theo phương thẳng đứng cách đều nhau và cách đều hai đầu dầm.
Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng bằng:
D. 47,07 mét.
D. 47,07 mét.
D. 47,07 mét.
Ta chọn hai hệ trục toạ độ Oxy và O'xy' sao cho đỉnh của mỗi parabol trùng với O và O' (như hình vẽ, đơn vị trên các trục là mét).
Ta cần tính các đoạn \(OO',{\rm{ }}{A_1}{A_2},{\rm{ }}{B_1}{B_2},{\rm{ }}{C_1}{C_2}.\)
Dễ thấy \(OO' = {\rm{ }}AA' = {\rm{ }}BB' = CC' = 9.\)
- Xét trong hệ trục toạ độ Oxy:
Giả sử parabol (P) có phương trình: \({y^2}\; = 2px\left( {p > 0} \right).\)
Khi đó D có toạ độ (21; 40) thuộc (P) nên \({40^2} = 2p.21\)\( \Rightarrow 2p = \dfrac{{1600}}{{21}}\)
Vậy phương trình của (P) là \({y^2} = \dfrac{{1600}}{{21}}x\)
- Xét trong hệ trục toạ độ O'xy':
Giả sử parabol (P') có phương trình: \(y{'^2} = 2px\left( {p > 0} \right).\)
Khi đó D có toạ độ (12; 40) thuộc (P') nên \({40^2}\; = 2p.12 \Rightarrow 2p = \dfrac{{400}}{3}\)
Vậy phương trình của (P') là \(y{'^2} = \dfrac{{400}}{3}x\)
- Tính các đoạn \({A_1}{A_2},{\rm{ }}{B_1}{B_2},{\rm{ }}{C_1}{C_2}:\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1}{A_2}\; = A{A_2}\; - {\rm{ }}A{A_1}\; = \left( {AA' + A'{A_2}} \right)-A{A_1}\; = \left( {9 + 0,75} \right)-1,3125 = 8,3475.}\\{{B_1}{B_2}\; = B{B_2}\; - {\rm{ }}B{B_1}\; = \left( {BB' + B'{B_2}} \right)-B{B_1}\; = \left( {9 + 3} \right)-5,25 = 6,75.}\\{{C_1}{C_2}\; = C{C_2}\; - {\rm{ }}C{C_1}\; = \left( {CC' + C'{C_2}} \right)-C{C_1}\; = \left( {9 + 6,75} \right)-11,8125 = 3,9375.}\end{array}\)
Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{OO' + 2{A_1}{A_2}\; + {\rm{ }}2{B_1}{B_2}\; + 2{C_1}{C_2}}\\{ = {\rm{ }}9 + 2.8,3475 + 2.6,75 + 2{\rm{ }}.{\rm{ }}3,9375}\\{ = {\rm{ }}47,07.}\end{array}\)
Vậy tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là 47,07 mét.
Tính bán kính qua tiêu của điểm trên parabol sau: Điểm \(M\left( {3;-6} \right)\) trên \(\left( P \right):{y^2}\; = 12x\)
Bán kính qua tiêu là:
Bán kính qua tiêu là:
Có 2p = 12, suy ra p = 6.
Bán kính qua tiêu của M là: \(FM\; = x + \;\dfrac{p}{2} = 3 + \;\dfrac{6}{2} = {\rm{ }}6.\)
Lập phương trình của hypebol $(H) $ biết $(H)$ có tiêu điểm ${F_1}\left( { - 10;0} \right)$ và một đường tiệm cận là $y = - \dfrac{4}{3}x$
$(H)$ có tiêu điểm ${F_1}\left( { - 10;0} \right)$ và một đường tiệm cận là $y = - \dfrac{4}{3}x$
$ \Rightarrow c = 10,\,\,\dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{3}$ $ \Rightarrow a = \dfrac{3}{4}b $ $\Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{9}{{16}}{b^2}$
Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{9}{{16}}{b^2} + {b^2} = {10^2} $ $\Leftrightarrow {b^2} = 64$
${a^2} = \dfrac{9}{{16}}{b^2} = 36$
Phương trình chính tắc của $(H):$ $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} - \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1.$
Tìm tâm sai của hypebol biết góc hợp bởi tiệm cận và $Ox$ bằng ${30^0}$
Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)$
Phương trình $2$ đường tiệm cận của $(H)$ là: $y = \pm \dfrac{b}{a}x$
Vì góc hợp bởi tiệm cận và $Ox$ bằng ${30^0}$ $ \Rightarrow \dfrac{b}{a} = \tan {30^0} $ $\Leftrightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} $ $\Leftrightarrow \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{3} $ $\Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{3}{a^2}$
Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} $ $\Rightarrow {a^2} + \dfrac{1}{3}{a^2} = {c^2} $ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}{a^2} = {c^2} $ $\Leftrightarrow \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{3} $ $\Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} $ $\Leftrightarrow e = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\), tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) là:
Elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\) suy ra \(b = 2\).
Elip có tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) suy ra \(c = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)
Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9\)
Vậy elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)
Lập phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ biết $(H)$ có đỉnh ${A_2}(3;0)$ và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là: $(C):\,{x^2} + {y^2} = 16$
Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)$
$(H)$ có đỉnh ${A_2}(3;0)$$ \Rightarrow a = 3$
Đường tròn $(C):\,{x^2} + {y^2} = 16$ có bán kính $R = 4$
$ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {4^2} \Rightarrow c = 4$
Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Rightarrow {3^2} + {b^2} = {4^2} \Leftrightarrow {b^2} = 7$
Phương trình chính tắc của $(H):$ $\dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1$
Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là \(A(2;0)\) và đi qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\) là:
Elip có đỉnh là \(A(2;0)\) suy ra \(a = 2\). Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\) nên ta có \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Cho hypebol $(H):\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Lập công thức tính góc $\varphi $ tạo bởi 2 đường tiệm cận của $(H).$
Hypebol $(H):\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ có 2 đường tiệm cận là: $y = \dfrac{b}{a}x,\,\,\,y = - \dfrac{b}{a}x$
Nhận $\overrightarrow {{n_1}} \left( {b; - a} \right),\,\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {b;a} \right)$ lần lượt là các VTPT.
Khi đó, góc tạo bởi 2 đường tiệm cận của $(H)$ được tính bởi công thức: $\cos \varphi = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {b.b + ( - a).a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {{b^2} - {a^2}} \right|}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm \(M(2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3})\) và \(N(2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3})\) là:
Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(M\left( {2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(N\left( {2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
