Bài tập cuối chuyên đề 3

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

Gọi$A\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,B\left( { - {x_0};\,{y_0}} \right),\,C\left( { - {x_0};\, - {y_0}} \right);\,D\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right),\,\,({x_0},{y_0} > 0)$ là $4$ đỉnh của hình chữ nhật $ABCD,$ có tâm $O.$

$A,B,C,D \in (H) \Rightarrow \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{y_0}^2}}{{16}} = 1$  (1)

Phương trình đường thẳng $AC:\,\,y = \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}x$ và phương trình đường thẳng $BD:\,\,y =  - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}.x$

Hệ số góc của đường chéo $AC, BD$ lần lượt là: $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$ và  $- \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$.

Hệ số góc các đường chéo là số nguyên $\Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z,\, - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z.$

Đặt $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = k \in {Z^ + } \Leftrightarrow {y_0} = k{x_0}$. Thay vào (1), ta được:

$\dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - 1 \Leftrightarrow {k^2}{x_0}^2 = 4{x_0}^2 - 16 \Leftrightarrow {k^2} = 4 - \dfrac{{16}}{{{x_0}^2}}$ (2)

Từ (2) $\Rightarrow 0 < {k^2} < 4$

Mà  $k \in Z \Rightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\,\,(TM)\\k =  - 1(L)\end{array} \right.$

$k = 1 \Rightarrow AC:\,\,y = x,\,\,\,BD:\,\,y =  - x$

Vậy, phương trình đường chéo cần tìm là: $y = x,\,\,\,y =  - x$

Độ dài trục lớn là 12, suy ra $2a = 12$  hay $a = 6$

Độ dài trục nhỏ là 8, suy ra $2b = 8$  hay $b = 4$

Vậy elip cần tìm là $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

Elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9}  = 8$

Gọi $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \dfrac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9$

Diện tích tam giác $M{F_1}{F_2}$ là: ${S_{M{F_1}{F_2}}} = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \dfrac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} > 0} \right)$

Lại có: ${S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)$

Elip có  hai đỉnh là $A(5;0)$ và $B(0;3)$ suy ra $a = 5$ và $b = 3$. Do đó, phương trình chính tắc của elip là:$\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$

$(H):\,4{x^2} - {y^2} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow a = 1;b = 2$

Độ dài trục thực: ${A_1}{A_2} = 2a = 2.1 = 2$

Độ dài trục ảo: ${B_1}{B_2} = 2b = 2.2 = 4$.

$(H):\,\,16{x^2} - 9{y^2} = 16 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{{16}}{9}}} = 1 \Rightarrow a = 1,\,\,b = \dfrac{4}{3}$

Hai đường tiệm cận của $(H)$: $y = \dfrac{b}{a}x = \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x = \dfrac{4}{3}x;\,\,y =  - \dfrac{b}{a}x =  - \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x =  - \dfrac{4}{3}x$.

$(H)$ có trục thực, trục ảo dài lần lượt là 10 và 6 $\Rightarrow a = 5,\,\,b = 3$.

Phương trình chính tắc của $(H)$:  $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.