Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Ta có $\widehat {{C_1}D{A_1}} = 90^\circ  - 49^\circ  = 41^\circ$; $\widehat {{C_1}D{B_1}} = 90^\circ  - 35^\circ  = 55^\circ$, nên $\widehat {{A_1}D{B_1}} = 14^\circ$.

Xét tam giác ${A_1}D{B_1}$, có $\dfrac{{{A_1}{B_1}}}{{\sin \widehat {{A_1}D{B_1}}}} = \dfrac{{{A_1}D}}{{\sin \widehat {{A_1}{B_1}D}}}$$\Rightarrow {A_1}D = \dfrac{{12.\sin 35^\circ }}{{\sin 14^\circ }}$$\approx 28,45\,{\rm{m}}$.

Xét tam giác ${C_1}{A_1}D$ vuông tại ${C_1}$, có

$\sin \widehat {{C_1}{A_1}D} = \dfrac{{{C_1}D}}{{{A_1}D}}$$\Rightarrow {C_1}D = {A_1}D.\sin {C_1}{A_1}D = 28,45.\sin 49^\circ$$\approx 21,47\,{\rm{m}}$$\Rightarrow CD = {C_1}D + C{C_1} \approx 22,77{\rm{ m}}$.

Ta có chiều cao của tòa nhà chính là đoạn $BH$.

Mà $BH = CD + DH$$= CD + 7$.

Xét tam giác $ACD$ vuông tại $D$ có $AC = \dfrac{{CD}}{{\sin 40^\circ }}$

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $D$ có $AB = \dfrac{{5 + CD}}{{\sin 50^\circ }}$

Xét tam giác $ABC$ có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}$

$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}50^\circ }} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}40^\circ }} - \dfrac{{2\cos 10^\circ }}{{\sin 40^\circ \sin 50^\circ }}} \right)C{D^2} + \left( {\dfrac{{10}}{{{{\sin }^2}50^\circ }} - \dfrac{{10\cos 10^\circ }}{{\sin 40^\circ \sin 50^\circ }}} \right)CD + \dfrac{{25}}{{{{\sin }^2}50^\circ }} - 25 = 0$$\Leftrightarrow CD \approx 11,9$

$\Rightarrow BC \approx 7 + 11,9$$\approx 18,9$ (m).

Vậy tòa nhà cao $18,9{\rm{ m}}$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ ta có:

${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2a.b.\cos C$$\Rightarrow 81 = 25 + {b^2} - 2.5.b.\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)$$\Leftrightarrow {b^2} - b - 56 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 7\\b =  - 8\end{array} \right.$

Ta nhận được $b = 7({\rm{cm}})$

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$$= \sqrt {\dfrac{{21}}{2}\left( {\dfrac{{21}}{2} - 5} \right)\left( {\dfrac{{21}}{2} - 7} \right)\left( {\dfrac{{21}}{2} - 9} \right)}$$= \dfrac{{21\sqrt {11} }}{4}({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})$

Độ dài đường cao ${h_a} = \dfrac{{2S}}{a}$$= \dfrac{{\dfrac{{21\sqrt {11} }}{2}}}{5}$$= \dfrac{{21\sqrt {11} }}{{10}}({\rm{cm}})$

Xét đường tròn bán kính $1$, ta cắt trên đó một hình chữ nhật $ABCD$.

Khi đó ${S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha$$= 2\sin \alpha  \le 2$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha  = 90^\circ$.

Vậy diện tích lớn nhất của miếng tôn cắt trên nửa đường tròn bằng $1$.

Sau $2$ giờ tàu $B$ đi được $40$ hải lí, tàu $C$ đi được $30$ hải lí. Vậy tam giác $ABC$ có $AB = 40,\,\,\,AC = 30$ và $\widehat A = {60^0}.$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác $ABC,$ ta có

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$$= {30^2} + {40^2} - 2.30.40.\cos {60^0}$$= 900 + 1600 - 1200 = 1300$

Vậy $BC = \sqrt {1300}  \approx 36$ (hải lí).

Sau $2$ giờ, hai tàu cách nhau khoảng $36$ hải lí.

Trong tam giác $AHB$, ta có $\tan \widehat {ABH} = \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{4}{{20}} = \dfrac{1}{5}$ $\Rightarrow \widehat {ABH} \approx {11^0}19$

Suy ra $\widehat {ABC} = {90^0} - \widehat {ABH} = {78^0}41'$.

Suy ra $\widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = {56^0}19'$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$, ta được $\dfrac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \dfrac{{CB}}{{\sin \widehat {BAC}}}$$\Rightarrow CB = \dfrac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} \approx 17{\rm{m}}$

Ta có:

Công thức tính diện tích là: $S = \dfrac{1}{2}ac.\sin B$

Mà $\widehat B = {135^o} \Rightarrow \sin B = \sin {135^o} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Thay vào công thức tính diện tích, ta được:

$S = \dfrac{1}{2}ac.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.ac$

Theo định lí sin, ta có: $R = \dfrac{a}{{2\sin A}} = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{c}{{2\sin C}}$

$R = \dfrac{a}{{\sin A}}$ sai.

$R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}b$

Mà $\sin B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{b}{\sqrt 2} =\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}b$

Vậy B đúng.

$R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}c$ (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

$R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a$ (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

${a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$ (Loại)

Vì: Theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$

Không đủ dữ kiện để suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$

$\dfrac{b}{{\sin A}} = \dfrac{a}{{\sin B}}$ (Loại)

Theo định lí sin, ta có: $\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}$ 

$\sin B = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}$(sai vì theo câu a, $\sin B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$)

${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.$

Theo định lý cos ta có:

${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B$ (*)

Mà $\widehat B = {135^o} \Rightarrow \cos B = \cos {135^o}$.

Thay vào (*) ta được: ${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\;\cos {135^o}$

Vậy D đúng.

A.$S = \dfrac{{abc}}{{4r}}$

Ta có: $S = \dfrac{{abc}}{{4R}}$. Mà $r < R$nên suy ra $S = \dfrac{{abc}}{{4R}} < \dfrac{{abc}}{{4r}}$

Vậy A sai.

B.$r = \dfrac{{2S}}{{a + b + c}}$

Ta có: $S = pr \Rightarrow r = \dfrac{S}{p}$

Mà$p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\;\; \Rightarrow r = \dfrac{S}{p}\; = \dfrac{S}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} = \dfrac{{2S}}{{a + b + c}}\;$

Vậy B đúng

C.${a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A$

Sai vì theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A$

D.$S = r\,(a + b + c)$

Sai vì $S = pr = r.\dfrac{{a + b + c}}{2}$

+ $\sin A = \sin \,(B + C)$

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\\ \Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A\end{array}$

Vậy A đúng.

+ $\cos A = \cos \,(B + C)$

Sai vì $\cos \,(B + C) = - \cos A$(Do $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$)

+ $\;\cos A > 0$

Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu ${0^o} < \widehat A < {90^o}$ thì $\cos A > 0$

Nếu ${90^o} < \widehat A < {180^o}$ thì $\cos A < 0$

+ $\sin A\,\, \le 0$

Ta có $S = \dfrac{1}{2}bc.\sin A > 0$

Mà $b,c > 0$

$\Rightarrow \sin A > 0$

Vậy D sai.

Theo định lí sin: $\dfrac{a}{{2\sin A}} = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{c}{{2\sin C}} = R$

+) Ta có: $R = \dfrac{b}{{2\sin B}}$

Mà $b = AC = 10,\;\;\widehat B = {60^o}$

$\Rightarrow R = \dfrac{{10}}{{2\sin {{60}^o}}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}.$

Ta có: $R = \dfrac{a}{{2\sin A}} \Rightarrow a =2R.\sin A$

Mà $R = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3},$ $\widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \;\widehat C} \right)$$= {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}$

$\Rightarrow a = \dfrac{{2.10\sqrt 3 }}{3}.\sin {75^o} \approx 11,154$

Gọi t (đơn vị: giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.

Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30km/h nên quãng đường BC = 30t

Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50km/h nên quãng đường AC = 50t

Theo định lí sin, ta có: $\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin B}}$

Trong đó: $\left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\b = AC = 50t\\\widehat B = {124^o}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{30t}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{50t}}{{\sin {{124}^o}}}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{30t.\sin {{124}^o}}}{{50t}} = \dfrac{{30.\sin {{124}^o}}}{{50}} \approx 0,4974\end{array}$

$\Leftrightarrow \alpha \approx {30^o}$ hoặc $\alpha \approx {150^o}$(loại)

Vậy tàu A chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu B góc ${30^o}$.

Xét tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat B = {124^o};\widehat A = {30^o}\\ \Rightarrow \widehat C = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = {180^o} - \left( {{{124}^o} + {{30}^o}} \right) = {26^o}\end{array}$

Theo định lí sin, ta có

$\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{c}{{\sin C}} \Rightarrow a = \dfrac{{c.\sin A}}{{\sin C}}$

Mà $\left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\c = AB = 53\\\widehat A = {30^o};\widehat C = {26^o}\end{array} \right. \Rightarrow 30t = \dfrac{{53.\sin {{30}^o}}}{{\sin {{26}^o}}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 30t \approx 60,45\\ \Leftrightarrow t \approx 2\;(h)\end{array}$

Vậy sau khoảng 2 giờ thì tàu A đuổi kịp tàu B.