Phương trình đường tròn \((C)\)  đi qua \(A (3;3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \((d): 2x + y - 3 = 0\) tại điểm \(B (1;1)\) là: 

Giả sử đường tròn có tâm \(I(a;b)\)

Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \((d):2x + y - 3 = 0\)  tại \(B(1;1)\) nên ta có: $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0$.

 Mà \(\overrightarrow {BI}  = \left( {a - 1;b - 1} \right),\overrightarrow {{u_d}}  = (1; - 2)\)  nên ta có

\(1\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì đường tròn qua \(A\left( {3;3} \right)\) nên ta có \(R = IA = IB\).

\(IA = IB \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \Leftrightarrow  - 4a - 4b + 16 = 0 \Leftrightarrow a + b = 4\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 1 = 0\\a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{7}{3}\\b = \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3}} \right)\)

Ta có \(R = BI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{7}{3} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{5}{3} - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{{20}}{9}} \)

Vậy ta có phương trình \({\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{5}{3}} \right)^2} = \dfrac{{20}}{9}\)