Trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right),$  cho đường tròn \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\) và  hai điểm  $A\left( { - 2;0} \right),B\left( {4;3} \right).$  Viết phương trình các tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại các giao điểm của $\left( C \right)$ với đường thẳng $AB.$

Đường tròn \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \dfrac{7}{2}x - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{7}{4}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{65}}{{16}}\)

\( \Rightarrow \) $\left( C \right)$  có tâm  \(I\left( {\dfrac{7}{4};0} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{\sqrt {65} }}{4}\)

Đường thẳng $AB$  với $A\left( { - 2;0} \right)$ và $B\left( {4;3} \right)$  có phương trình  \(\dfrac{{x + 2}}{6} = \dfrac{y}{3}\) hay \(y = \dfrac{{x + 2}}{2}\)

+ Giao điểm của $\left( C \right)$ với đường thẳng $AB$  có tọa độ là nghiệm hệ PT

\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\\{\rm{y  = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{\left( {\dfrac{{x + 2}}{2}} \right)^2} - 7x - 2 = 0\\{\rm{y  = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x(x - 2) = 0\\{\rm{y  = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y = 1\\x = 2;y = 2\end{array} \right.\)

   Vậy có hai giao điểm là $M\left( {0;1} \right)$  và $N\left( {2;2} \right)$

+ Các tiếp tuyến của $\left( C \right)$  tại $M$  và $N$  lần lượt nhận các vectơ \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - \dfrac{7}{4};1} \right)\) và \(\overrightarrow {IN}  = \left( {\dfrac{1}{4};2} \right)\) làm các vectơ pháp tuyến, do đó các TT đó có phương trình lần lượt là:

\( - \dfrac{7}{4}(x - 0) + 1(y - 1) = 0\) hay \(7x - 4y + 4 = 0\)

 \(\dfrac{1}{4}(x - 2) + 2(y - 2) = 0\) hay \(x + 8y - 18 = 0\)