Cho bất phương trình: ${x^2} - 2x \le \left| {x - 2} \right| + ax - 6$. Giá trị dương nhỏ nhất của $a$ để bất phương trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây:

Trường hợp 1: $x \in \left[ {2; + \infty } \right)$.

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

${x^2} - \left( {a + 3} \right)x + 8 \le 0$$ \Leftrightarrow a \ge x + \dfrac{8}{x} - 3 \ge 4\sqrt 2  - 3 \approx 2,65$$\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)$.

Dấu  xảy ra khi $x = 2\sqrt 2 $.

Trường hợp 2: $x \in \left( { - \infty ;2} \right)$.

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

${x^2} - \left( {a + 1} \right)x + 4 \le 0$

$\Leftrightarrow ax \ge {x^2} -x+4$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge \dfrac{{x^2} -x+4}{x}\;\;khi\;\;x \in \left( {0;2} \right)\;\;\;\;\;\;\\a \le \dfrac{{x^2} -x+4}{x}\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\;\;\;\end{array} \right.$.

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge x + \dfrac{4}{x} - 1\;\;khi\;\;x \in \left( {0;2} \right)\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\a \le x + \dfrac{4}{x} - 1\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Giải $\left( 1 \right)$ ta được $a > 3$ (theo bất đẳng thức Cauchy).

Giải $\left( 2 \right)$: $a \le x + \dfrac{4}{x} - 1$$ \Leftrightarrow a \le  - 2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}}  - 1 =  - 5$.

Vậy giá trị dương nhỏ nhất của $a$ gần với số $2,6$.