Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên không dương của tham số $m$ để phương trình $\sqrt {2x + m}  = x - 1$ có nghiệm duy nhất?

$\sqrt {2x + m}  = x - 1$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2x + m = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 4x + 1 - m = 0\left( * \right)\end{array} \right.$.

Phương trình có nghiệm duy nhất khi hệ có nghiệm duy nhất.

Xét ${x^2} - 4x + 1 - m = 0$; \(\Delta ' = 3 + m\)

TH1: \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\) thì (*) có nghiệm kép \(x = 2 \ge 1\) (thỏa).

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m >  - 3\) thì phương trình có nghiệm duy nhất khi (*) có 2 nghiệm thỏa \({x_1} < 1 < {x_2}\) \( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\) \( \Leftrightarrow 1 - m - 4 + 1 < 0 \Leftrightarrow m >  - 2\).

Do $m$ không dương nên $m\in \{-1;0\}$

Kết hợp với trường hợp $m=-3$ ở trên ta được $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.