Phương trình \(\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {3x - 5}  = \sqrt {9x + 4}  + \sqrt {2x - 2} {\rm{  }}\left( * \right)\) có nghiệm ${x_0}$ thỏa mãn

Điều kiện: \(x \ge \dfrac{5}{3}\).

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt {10x + 1}  - \sqrt {9x + 4} } \right) + \left( {\sqrt {3x - 5}  - \sqrt {2x - 2} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10x + 1 - \left( {9x + 4} \right)}}{{\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{{3x - 5 - \left( {2x - 2} \right)}}{{\sqrt {3x - 5}  + \sqrt {2x - 2} }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {3x - 5}  + \sqrt {2x - 2} }}} \right) = 0\end{array}\)

Vì \(\forall x \ge \dfrac{5}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {3x - 5}  + \sqrt {2x - 2} }} > 0\) nên \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 3\).

Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3\).