Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4...;100} \right\}$. Gọi $S$ là tập hợp gồm tất cả các tập con của $A$, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của $A$ và có tổng bằng $91.$ Chọn ngẫu nhiên một phần tử của $S.$ Xác suất chọn được phần tử có $3$ số lập thành cấp số nhân bằng?

Giả sử tập con bất kì $\left\{ {a,b,c} \right\} \in S$$\Rightarrow 1 \le a,b,c \le 100$ ;$a,b,c$ phân biệt.

$a + b + c = 91.$

Số bộ $a,b,c$ là $C_{91 - 1}^{3 - 1}$

Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 số giống nhau, số bộ có 2 số giống nhau là $3.45 = 135$ (bộ). ( Không có bộ nào có 3 số giống nhau vì $a + b + c = 91$)

Vậy $n\left( \Omega  \right) = \left( {C_{90}^2 - 3.45} \right):3! = 645$.

Gọi $A$ là biến cố: ”$a,b,c$ lập thành cấp số nhân”

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có $q > 0$

$a + aq + a{q^2} = 91$$\Leftrightarrow a\left( {1 + q + {q^2}} \right) =91$

$\Leftrightarrow {q^2} + q + 1 - \dfrac{{91}}{a} = 0$

Thử $a = 1,2,..,91$ và bấm máy tính tìm $q$ ta được các trường hợp sau:

+) $a = 1,q = 9$ nên bộ ba số là $1;9;81$.

+) $a = 7,q = 3$ nên bộ ba số là $7;21;63$.

+) $a = 13,q = 2$ nên bộ ba số là $13;26;52$.

+) $a = 25,q = \dfrac{6}{5}$ nên bộ ba số là $25;30;36$.

Vậy có bốn bộ số thỏa mãn.

$P\left( A \right) = \dfrac{4}{{645}}$.