Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Ta có: ${\Delta _1} \equiv {\Delta _1} \Leftrightarrow \dfrac{{2m - 1}}{3} = \dfrac{{{m^2}}}{4} = \dfrac{1}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m - 1}}{3} =  - 1\\\dfrac{{{m^2}}}{4} =  - 1\left( {VN} \right)\end{array} \right.$

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.

Giả sử đường thẳng $AB$  qua $M$ và có VTPT là $\vec n = \left( {a;b} \right)\,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$  

 => VTPT của $BC$ là: ${\vec n_1} = \left( { - b;a} \right)$.

 Phương trình AB có dạng: $a\left( {x-2} \right) + b\left( {y-1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow ax + by-2a-b = 0$

BC có dạng: $-b\left( {x-4} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0\;$ $\Leftrightarrow -bx + ay + 4b + 2a = 0$

Do $ABCD$ là hình vuông nên  $d\left( {P,AB} \right) = d\left( {Q,BC} \right)$  

 $\Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {3b + 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 2a\\b =  - a\end{array} \right.$

TH1: $b =  - 2a$

Chọn $a = 1 \Rightarrow b =  - 2$ ta được $AB:x - 2y - 2.1 - \left( { - 2} \right) = 0$ hay $x - 2y = 0$

$BC: - \left( { - 2} \right)x + y + 4.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0$ hay $2x + y - 6 = 0$

CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận $\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 2} \right)$ làm VTPT

Do đó CD: 1(x-2) – 2(y-0) = 0 hay x-2y-2=0

AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận $\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)$ làm VTPT

Do đó AD: 2(x-1) + 1(y-2) = 0 hay 2x+y-4=0

TH2: $b =  - a$

Chọn $a = 1 \Rightarrow b =  - 1$ ta được $AB:x - y - 2.1 - \left( { - 1} \right) = 0$ hay $x - y - 1 = 0$

$BC: - \left( { - 1} \right)x + y + 4.\left( { - 1} \right) + 2.1 = 0$ hay $x + y - 2 = 0$

CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận $\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 1} \right)$ làm VTPT

Do đó CD: 1(x-2) – 1(y-0) = 0 hay x-y-2=0

AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận $\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {1;1} \right)$ làm VTPT

Do đó AD: 1(x-1) + 1(y-2) = 0 hay x+y-3=0.

Ta có: $\Delta$ nhận $\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)$ là một VTPT.

Vì $d//\Delta  \Rightarrow \overrightarrow n$ cũng là VTPT của d.

$\Rightarrow$ Phương trình d: $3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6 = 0.$  

$B = AB \cap Ox \Rightarrow B(1;0)$, $A \in AB \Rightarrow A\left( {a;3\sqrt 7 (a - 1)} \right) \Rightarrow a > 1$ (do ${x_A} > 0,{y_A} > 0$).

Gọi $AH$ là đường cao $\Delta ABC$, do $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AH$ cũng là đường trung tuyến, khi đó $H$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow H(a;0) \Rightarrow C(2a - 1;0) \Rightarrow BC = 2(a - 1),AB = AC = 8(a - 1)$

Chu vi tam giác $ABC$ bằng $18$ $\Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow C(3;0),A\left( {2;3\sqrt 7 } \right)$

Điểm $C \in CD:x + y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {t;1 - t} \right)$.

 Suy ra trung điểm $M$  của $AC$  là $M\left( {\dfrac{{t + 1}}{2};\dfrac{{3 - t}}{2}} \right)$.

$M$  thuộc $BM$  nên $(t + 1) + \dfrac{{3 - t}}{2} + 1 = 0 \Rightarrow t =  - 7 \Rightarrow C\left( { - 7;8} \right)$

Từ $A\left( {1;2} \right),$ kẻ $AI \bot CD\left( {I \in CD} \right)$ cắt $BC$ tại $K$

Suy ra $AK:\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0$

Tọa độ điểm $I$  thỏa hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1} \right)$

 Tam giác $ACK$  cân tại $C$  nên $I$  là trung điểm của $AK \Rightarrow K\left( { - 1;0} \right)$

Đường thẳng $BC$  đi qua $C,K$ nên có phương trình:

 $\dfrac{{x + 1}}{{ - 7 + 1}} = \dfrac{y}{8} \Leftrightarrow 4x + 3y + 4 = 0$

Gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$  qua ${d_1} \Rightarrow N \in AC$

$\overrightarrow {MN}  = ({x_N} - 1,\,\,{y_N} + 1)$

Ta có:  $\overrightarrow {MN}$ cùng phương ${\overrightarrow n _{{d_1}}} = (1;\,\,1)$

$\Leftrightarrow \,\,1({x_N} - 1) - 1({y_N} + 1) = 0$$\Leftrightarrow {x_N} - {y_N} = 2\,\,\,(1)$

 Tọa độ trung điểm $I$  của   $MN:$${x_I} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right),{y_I} = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right)$

$I \in \left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right) + 2 = 0$$\Leftrightarrow {x_N} + {y_N} + 4 = 0\,\,\,\,(2)$

 Giải hệ $\left( 1 \right)$  và $\left( 2 \right)$  ta được $N\left( {-1;-3} \right)$

Phương trình cạnh $AC$  vuông góc với ${d_2}$  có dạng: $x + 2y + C = 0.$

 $N \in AC$$\Leftrightarrow  - 1 + 2.( - 3) + C = 0$$\Leftrightarrow C = 7$

 Vậy, phương trình cạnh $AC:$  $x + 2y + 7 = 0.$

Đường thẳng $\left( d \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3; - 4} \right)$

Đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {a;b} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {d;\Delta } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \Leftrightarrow \cos {45^o} = \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {3a - 4b} \right| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow 2{\left( {3a - 4b} \right)^2} = 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 7{a^2} + 48ab - 7{b^2} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Mặt khác $M\left( {2; - 1} \right) \in \Delta  \Rightarrow 2a - b + 5 = 0 \Leftrightarrow b = 2a + 5$ thế vào (1)

Gọi $M\left( {0;m} \right) \in Oy;\,\,AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}}  = 5.$ 

Có  ${S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {M,AB} \right).AB$ $\Leftrightarrow 1 = \dfrac{1}{2}.d\left( {M,AB} \right).5 \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{2}{5}$

$\overrightarrow {AB}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {4; - 3} \right)$ là 1 VTPT của  AB.

$\Rightarrow$ Phương trình AB: $4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0$

$\Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}$$\Leftrightarrow \dfrac{2}{5} = \dfrac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| { - 3m + 2} \right| = 2$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3m + 2 = 2\\ - 3m + 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0 \Rightarrow M\left( {0;0} \right)\\m = \dfrac{4}{3} \Rightarrow M\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right)\end{array} \right.$