Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ta có: \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow u \left( {2; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow v \left( {k;\dfrac{1}{3}} \right)\).

Vì \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \) nên \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2k - 3.\dfrac{1}{3} = 0\\ \Leftrightarrow 2k - 1 = 0\\ \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;11} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {AC}  = \left( { - 7;3} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right) + 11.3 = 40.\)

Ta có \(\overrightarrow {AO}  = \left( { - 3;1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {OB}  = \left( {2;10} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {OB}  =  - 3.2 + 1.10 = 4.\)

Ta có \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \left( {6;6} \right).\)Suy ra \(P = \overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = 1.6 + 2.6 = 18.\)

Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow a  = \left( {4;6} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {3; - 7} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 4.3 + 6.\left( { - 7} \right) =  - 30.\)

Đáp án A: Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow {{v_1}}  = 9.1 + 3.\left( { - 3} \right) = 0\) nên \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow {{v_1}} \).

Đáp án B: Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow {{v_2}}  = 9.2 + 3.\left( { - 6} \right) = 0\) nên \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow {{v_2}} \).

Đáp án C: Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow {{v_3}}  = 9.1 + 3.3 = 18 \ne 0\) nên \(\overrightarrow a \) không vuông góc với \(\overrightarrow {{v_3}} \).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {8;4} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {5; - 5} \right),\)\(\overrightarrow {CB}  = \left( { - 2;4} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( { - 5;-5} \right).\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \dfrac{{8.5 + 4.\left( { - 5} \right)}}{{\sqrt {{8^2} + {4^2}} .\sqrt {{5^2} + {5^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\\\cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) + 4.\left( { - 5} \right)}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{5^2} + {5^2}} }} =  - \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 0\) \( \Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {BCD} = {180^0}\)

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{ - 2.4 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {4 + 1} .\sqrt {16 + 9} }} =  - \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{4.1 + 3.7}}{{\sqrt {16 + 9} .\sqrt {1 + 49} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^0}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 3} \right)\).

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \dfrac{{ - 2.4 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {4 + 1} .\sqrt {16 + 9} }} =  - \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Ta có \(\overrightarrow {BA}  = \left( {3; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 2} \right)\). Suy ra:

\(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\) \( = \dfrac{{3.\left( { - 4} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {9 + 1} .\sqrt {16 + 4} }} =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat B = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {135^{\rm{O}}}\)

Ta có \(M \in Ox\) nên \(M\left( {m;0} \right)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {m - 2; - \,2} \right)\\\overrightarrow {BM}  = \left( {m - 5;2} \right)\end{array} \right..\)

Vì \(\widehat {AMB} = {90^0}\) suy ra \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\) nên \(\left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) + \left( { - \,2} \right).2 = 0.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {1;0} \right)\\M\left( {6;0} \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(C \in Ox\)nên \(C\left( {c;0} \right)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CA}  = \left( { - 2 - c;4} \right)\\\overrightarrow {CB}  = \left( {8 - c;4} \right)\end{array} \right..\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( { - 2 - c} \right).\left( {8 - c} \right) + 4.4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {c^2} - 6c = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 6 \to C\left( {6;0} \right)\\c = 0 \to C\left( {0;0} \right)\end{array} \right..\)

Ta có \(C \in Oy\) nên \(C\left( {0;c} \right)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 1} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;c - 2} \right)\end{array} \right..\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại\(A\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right)\left( {c - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow c = 6\)

Vậy \(C\left( {0;6} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {a + 3;b} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;6} \right)\\\overrightarrow {BH}  = \left( {a - 3;b} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {5;6} \right)\end{array} \right.\)

Từ giả thiết, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a + 3} \right).\left( { - 1} \right) + b.6 = 0}\\{\left( {a - 3} \right).5 + b.6 = 0}\end{array}} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = \dfrac{5}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow a + 6b = 7\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  = \left( { - 2k + 4m;3k + m} \right)\\\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {2;4} \right)\end{array} \right..\)

Để \(\overrightarrow c  \bot \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow c \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2\left( { - 2k + 4m} \right) + 4\left( {3k + m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2k + 3m = 0\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a  = m.\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {4m + 1;m + 4} \right)\\\overrightarrow b  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;1} \right)\end{array} \right..\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \cos {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {4m + 1} \right) + \left( {m + 4} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {4m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m + 4} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{5\left( {m + 1} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) = \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} \)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 \ge 0}\\{25{m^2} + 50m + 25 = 17{m^2} + 16m + 17}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{4}\)

Ta có \(\vec a =  - \dfrac{3}{5}\overrightarrow i  - \dfrac{4}{5}\overrightarrow j \) \( \Rightarrow \vec a = \left( { - \dfrac{3}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right)\) \( \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{5}} \right)}^2}}  = 1\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1} \right)\\\overrightarrow {DC}  = \left( {3;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = 3\overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(DC// AB\) và \(DC = 3AB.\) \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AD = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \\BC = \sqrt {{3^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow AD = BC\)  \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - \,7; - \,3} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - \,7} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - \,4; - \,10} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \left( { - \,7} \right).3 + \left( { - \,3} \right).\left( { - \,7} \right) = 0\) và \(AB = BC.\)

Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B.\)