Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

  •   
Câu 1 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ (O;i;j) cho các vectơ u=2i3jv=ki+13j. Biết uv, khi đó k bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: u=2i3ju(2;3)v=ki+13jv(k;13).

uv nên u.v=0

2k3.13=02k1=0k=12

Câu 2 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3;1),B(2;10),C(4;2). Tính tích vô hướng AB.AC.   

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có AB=(1;11),AC=(7;3).

Suy ra AB.AC=(1).(7)+11.3=40.

Câu 3 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3;1)B(2;10). Tính tích vô hướng AO.OB.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có AO=(3;1),OB=(2;10).

Suy ra AO.OB=3.2+1.10=4.

Câu 4 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a=(1;2),b=(4;3)c=(2;3).

Tính P=a.(b+c).  

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có b+c=(6;6).Suy ra P=a.(b+c)=1.6+2.6=18.

Câu 5 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a=4i+6jb=3i7j. Tính tích vô hướng a.b.  

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Từ giả thiết suy ra a=(4;6)b=(3;7).

Suy ra a.b=4.3+6.(7)=30.

Câu 6 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a=(9;3). Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ a?  

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Đáp án A: Ta có: a.v1=9.1+3.(3)=0 nên av1.

Đáp án B: Ta có: a.v2=9.2+3.(6)=0 nên av2.

Đáp án C: Ta có: a.v3=9.1+3.3=180 nên a không vuông góc với v3.

Câu 7 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(8;0),B(0;4),C(2;0)D(3;5). Khẳng định nào sau đây là đúng?   

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có AB=(8;4),AD=(5;5),CB=(2;4),CD=(5;5).

Suy ra {cos(AB,AD)=8.5+4.(5)82+42.52+52=110cos(CB,CD)=(2).(5)+4.(5)22+42.52+52=110

cos(AB,AD)+cos(CB,CD)=0 ^BAD+^BCD=1800

Câu 8 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a=(2;1)b=(4;3). Tính cosin của góc giữa hai vectơ ab.    

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có cos(a,b)=a.b|a|.|b|=2.4+(1).(3)4+1.16+9=55.

Câu 9 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a=(4;3)b=(1;7). Tính góc α giữa hai vectơ ab. 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có cos(a,b)=a.b|a|.|b|=4.1+3.716+9.1+49=22 (a,b)=450

Câu 10 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2),B(1;1)C(5;1). Tính cosin của góc giữa hai vectơ ABAC. 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có AB=(2;1)AC=(4;3).

Suy ra cos(AB,AC)=AB.AC|AB|.|AC|=2.4+(1).(3)4+1.16+9=55

Câu 11 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCA(6;0),B(3;1)C(1;1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho.  

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có BA=(3;1)BC=(4;2). Suy ra:

cos(BA,BC)=BA.BC|BA|.|BC| =3.(4)+(1).(2)9+1.16+4=22

ˆB=(BA,BC)=135O

Câu 12 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;2),B(5;2). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho ^AMB=900?   

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có MOx nên M(m;0){AM=(m2;2)BM=(m5;2).

^AMB=900 suy ra AM.BM=0 nên (m2)(m5)+(2).2=0.

m27m+6=0[m=1m=6[M(1;0)M(6;0)

Câu 13 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;4)B(8;4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C.  

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có COxnên C(c;0){CA=(2c;4)CB=(8c;4).

Tam giác ABC vuông tại C nên CA.CB=0(2c).(8c)+4.4=0

c26c=0[c=6C(6;0)c=0C(0;0).

Câu 14 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2)B(3;1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A. 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có COy nên C(0;c){AB=(4;1)AC=(1;c2).

Tam giác ABC vuông tạiA nên AB.AC=0(4).(1)+(1)(c2)=0 c=6

Vậy C(0;6).

Câu 15 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCA(3;0),B(3;0)C(2;6). Gọi H(a;b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a+6b.  

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có {AH=(a+3;b),BC=(1;6)BH=(a3;b),AC=(5;6)

Từ giả thiết, ta có:

{AH.BC=0BH.AC=0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a + 3} \right).\left( { - 1} \right) + b.6 = 0}\\{\left( {a - 3} \right).5 + b.6 = 0}\end{array}} \right.  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = \dfrac{5}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow a + 6b = 7

Câu 16 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ \overrightarrow a  = \left( { - 2;3} \right),{\rm{ }}\overrightarrow b  = \left( {4;1} \right)\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + m\overrightarrow b với k,{\rm{ }}m \in \mathbb{R}. Biết rằng vectơ \overrightarrow c vuông góc với vectơ \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right). Khẳng định nào sau đây đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  = \left( { - 2k + 4m;3k + m} \right)\\\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {2;4} \right)\end{array} \right..

Để \overrightarrow c  \bot \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow c \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( { - 2k + 4m} \right) + 4\left( {3k + m} \right) = 0 \Leftrightarrow 2k + 3m = 0

Câu 17 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \overrightarrow u  = \left( {4;1} \right)\overrightarrow v  = \left( {1;4} \right). Tìm m để vectơ \overrightarrow a  = m.\overrightarrow u  + \overrightarrow v tạo với vectơ \overrightarrow b  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j một góc {45^0}.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a  = m.\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {4m + 1;m + 4} \right)\\\overrightarrow b  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;1} \right)\end{array} \right..

Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \cos {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}

\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {4m + 1} \right) + \left( {m + 4} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {4m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m + 4} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{5\left( {m + 1} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}

\Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) = \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 \ge 0}\\{25{m^2} + 50m + 25 = 17{m^2} + 16m + 17}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{4}

Câu 18 Trắc nghiệm

Trong hệ tọa độ \left( {O;\vec i;\vec j} \right), cho vectơ \vec a =  - \dfrac{3}{5}\overrightarrow i  - \dfrac{4}{5}\overrightarrow j . Độ dài của vectơ \vec a bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \vec a =  - \dfrac{3}{5}\overrightarrow i  - \dfrac{4}{5}\overrightarrow j \Rightarrow \vec a = \left( { - \dfrac{3}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right) \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{5}} \right)}^2}}  = 1

Câu 19 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A\left( { - 1;1} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2} \right),{\rm{ }}C\left( {3;1} \right)D\left( {0; - 2} \right). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1} \right)\\\overrightarrow {DC}  = \left( {3;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = 3\overrightarrow {AB} .

Suy ra DC// ABDC = 3AB. \left( 1 \right)

Mặt khác \left\{ \begin{array}{l}AD = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \\BC = \sqrt {{3^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \end{array} \right. \Rightarrow AD = BC  \left( 2 \right)

Từ \left( 1 \right)\left( 2 \right), suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân

Câu 20 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCA\left( {10;5} \right),{\rm{ }}B\left( {3;2} \right)C\left( {6; - 5} \right). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có \overrightarrow {AB}  = \left( { - \,7; - \,3} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - \,7} \right)\overrightarrow {AC}  = \left( { - \,4; - \,10} \right).

Suy ra \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \left( { - \,7} \right).3 + \left( { - \,3} \right).\left( { - \,7} \right) = 0AB = BC.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.