Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ (O;→i;→j) cho các vectơ →u=2→i−3→j và →v=k→i+13→j. Biết →u⊥→v, khi đó k bằng:
Ta có: →u=2→i−3→j⇒→u(2;−3) và →v=k→i+13→j⇒→v(k;13).
Vì →u⊥→v nên →u.→v=0
⇔2k−3.13=0⇔2k−1=0⇔k=12
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3;−1),B(2;10),C(−4;2). Tính tích vô hướng →AB.→AC.
Ta có →AB=(−1;11),→AC=(−7;3).
Suy ra →AB.→AC=(−1).(−7)+11.3=40.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3;−1) và B(2;10). Tính tích vô hướng →AO.→OB.
Ta có →AO=(−3;1),→OB=(2;10).
Suy ra →AO.→OB=−3.2+1.10=4.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ →a=(1;2),→b=(4;3) và →c=(2;3).
Tính P=→a.(→b+→c).
Ta có →b+→c=(6;6).Suy ra P=→a.(→b+→c)=1.6+2.6=18.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ →a=4→i+6→j và →b=3→i−7→j. Tính tích vô hướng →a.→b.
Từ giả thiết suy ra →a=(4;6) và →b=(3;−7).
Suy ra →a.→b=4.3+6.(−7)=−30.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ →a=(9;3). Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ →a?
Đáp án A: Ta có: →a.→v1=9.1+3.(−3)=0 nên →a⊥→v1.
Đáp án B: Ta có: →a.→v2=9.2+3.(−6)=0 nên →a⊥→v2.
Đáp án C: Ta có: →a.→v3=9.1+3.3=18≠0 nên →a không vuông góc với →v3.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(−8;0),B(0;4),C(2;0) và D(−3;−5). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có →AB=(8;4),→AD=(5;−5),→CB=(−2;4),→CD=(−5;−5).
Suy ra {cos(→AB,→AD)=8.5+4.(−5)√82+42.√52+52=1√10cos(→CB,→CD)=(−2).(−5)+4.(−5)√22+42.√52+52=−1√10
⇒cos(→AB,→AD)+cos(→CB,→CD)=0 ⇒^BAD+^BCD=1800
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ →a=(−2;−1) và →b=(4;−3). Tính cosin của góc giữa hai vectơ →a và →b.
Ta có cos(→a,→b)=→a.→b|→a|.|→b|=−2.4+(−1).(−3)√4+1.√16+9=−√55.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ →a=(4;3) và →b=(1;7). Tính góc α giữa hai vectơ →a và →b.
Ta có cos(→a,→b)=→a.→b|→a|.|→b|=4.1+3.7√16+9.√1+49=√22 ⇒(→a,→b)=450
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2),B(−1;1) và C(5;−1). Tính cosin của góc giữa hai vectơ →AB và →AC.
Ta có →AB=(−2;−1) và →AC=(4;−3).
Suy ra cos(→AB,→AC)=→AB.→AC|→AB|.|→AC|=−2.4+(−1).(−3)√4+1.√16+9=−√55
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;0),B(3;1) và C(−1;−1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho.
Ta có →BA=(3;−1) và →BC=(−4;−2). Suy ra:
cos(→BA,→BC)=→BA.→BC|→BA|.|→BC| =3.(−4)+(−1).(−2)√9+1.√16+4=−√22
⇒ˆB=(→BA,→BC)=135O
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;2),B(5;−2). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho ^AMB=900?
Ta có M∈Ox nên M(m;0) và {→AM=(m−2;−2)→BM=(m−5;2).
Vì ^AMB=900 suy ra →AM.→BM=0 nên (m−2)(m−5)+(−2).2=0.
⇔m2−7m+6=0⇔[m=1m=6⇒[M(1;0)M(6;0)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−2;4) và B(8;4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Ta có C∈Oxnên C(c;0) và {→CA=(−2−c;4)→CB=(8−c;4).
Tam giác ABC vuông tại C nên →CA.→CB=0⇔(−2−c).(8−c)+4.4=0
⇔c2−6c=0⇔[c=6→C(6;0)c=0→C(0;0).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(−3;1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A.
Ta có C∈Oy nên C(0;c) và {→AB=(−4;−1)→AC=(−1;c−2).
Tam giác ABC vuông tạiA nên →AB.→AC=0⇔(−4).(−1)+(−1)(c−2)=0 ⇔c=6
Vậy C(0;6).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−3;0),B(3;0) và C(2;6). Gọi H(a;b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a+6b.
Ta có {→AH=(a+3;b),→BC=(−1;6)→BH=(a−3;b),→AC=(5;6)
Từ giả thiết, ta có:
{→AH.→BC=0→BH.→AC=0⇔{(a+3).(−1)+b.6=0(a−3).5+b.6=0 ⇔{a=2b=56⇒a+6b=7
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ →a=(−2;3),→b=(4;1) và →c=k→a+m→b với k,m∈R. Biết rằng vectơ →c vuông góc với vectơ (→a+→b). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có {→c=k→a+m→b=(−2k+4m;3k+m)→a+→b=(2;4).
Để →c⊥(→a+→b)⇔→c(→a+→b)=0⇔2(−2k+4m)+4(3k+m)=0 ⇔2k+3m=0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ →u=(4;1) và →v=(1;4). Tìm m để vectơ →a=m.→u+→v tạo với vectơ →b=→i+→j một góc 450.
Ta có {→a=m.→u+→v=(4m+1;m+4)→b=→i+→j=(1;1).
Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \cos {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}
\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {4m + 1} \right) + \left( {m + 4} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {4m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m + 4} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{5\left( {m + 1} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}
\Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) = \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 \ge 0}\\{25{m^2} + 50m + 25 = 17{m^2} + 16m + 17}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{4}
Trong hệ tọa độ \left( {O;\vec i;\vec j} \right), cho vectơ \vec a = - \dfrac{3}{5}\overrightarrow i - \dfrac{4}{5}\overrightarrow j . Độ dài của vectơ \vec a bằng
Ta có \vec a = - \dfrac{3}{5}\overrightarrow i - \dfrac{4}{5}\overrightarrow j \Rightarrow \vec a = \left( { - \dfrac{3}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right) \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{5}} \right)}^2}} = 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A\left( { - 1;1} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2} \right),{\rm{ }}C\left( {3;1} \right) và D\left( {0; - 2} \right). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\\\overrightarrow {DC} = \left( {3;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {AB} .
Suy ra DC// AB và DC = 3AB. \left( 1 \right)
Mặt khác \left\{ \begin{array}{l}AD = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \\BC = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \end{array} \right. \Rightarrow AD = BC \left( 2 \right)
Từ \left( 1 \right) và \left( 2 \right), suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A\left( {10;5} \right),{\rm{ }}B\left( {3;2} \right) và C\left( {6; - 5} \right). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có \overrightarrow {AB} = \left( { - \,7; - \,3} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {3; - \,7} \right) và \overrightarrow {AC} = \left( { - \,4; - \,10} \right).
Suy ra \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \left( { - \,7} \right).3 + \left( { - \,3} \right).\left( { - \,7} \right) = 0 và AB = BC.
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
