Bài tập ôn tập chương 3

Bước 1: Số tiền chưa được giảm=Số tiền đã trả:(100%-10%)

Nếu không được giảm giá $10 \%$ thì người đi xe phải trả số tiền là:

$360000 :(100 \%-10 \%)=400000$(đồng)

Bước 2: Tìm quãng đường

Vì $100000<400000<550000$ nên người đi xe đã đi được quãng đường là:

$\dfrac{400000+50000}{15000}=30(\mathrm{~km})$

Vậy người đó đã đi được quãng đường dài $30 \mathrm{~km}$

Bước 1: Gọi $x(k m)(10<x<40)$ là độ dài quãng đường $A B$

Gọi $x(k m)(10<x<40)$ là độ dài quãng đường $A B$.

Vì quãng đường $B C$ dài hơn quãng đường $A B$ là $32 \mathrm{~km}$ nên quãng đường $B C$ dài $x+32(k m)$

Bước 2: Lập phương trình

Vì số tiền người đó phải trả ở quãng đường $B C$ gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường $A B$ nên ta có phương trình

$\begin{array}{l}12500(x + 32) + 50000\\ = 2,8 \cdot (15000x - 50000)\\ \Leftrightarrow x = 20(km)\end{array}$

Vậy quãng đường $A B$ dài $20 \mathrm{~km}$

Bước 1: Lập công thức

$f(x) =$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}10000x(0 < x \le 10)\\10000 \cdot 10 + (x - 10) \cdot 15000(10 < x \le 40)\\10000 \cdot 10 + 15000 \cdot 30 + (x - 40) \cdot 12500(x > 40)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10000x}&{(0 < x \le 10)}\\{15000x - 50000}&{(10 < x \le 40)}\\{12500x + 50000}&{(x > 40)}\end{array}} \right.\end{array}$

Bước 2: Xác định các khoảng của $f(x)$ ứng với các khoảng của $x$

Để xác định số tiền xe là $475000$VNĐ mà người đi xe phải trả ứng với quãng đường di chuyển dài bao nhiêu, ta cần xác định công thức tương ứng

Với $f(x)=10000 x, 0<x \leq 10$ thì $0<f(x) \leq 100000$

Với $f(x)=15000 x-50000,10<x \leq 40$ thì $100000<f(x) \leq 550000$

Với $f(x)=12500 x+50000, x>40$ thì $f(x)>550000$

Bước 3: Tìm $x$ khi $f(x)=475 000$

Vi $100000<475000<550000$ nên ứng với số tiền xe $475000 \mathrm{VNĐ}$ ta có:

$15000x-50000=475 000$

Người đi xe đã đi được quãng đường là $\dfrac{475000+50000}{15000}=35(\mathrm{~km})$

Vậy người đó đã đi được quãng đường dài $35 \mathrm{~km}$

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 32\\xy = 12\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{12}}{x}\\{x^2} - \dfrac{{144}}{{{x^2}}} = 32\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{12}}{x}\\{x^4} - 32{x^2} - 144 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{12}}{x}\\{x^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 6\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.$

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3m - 2} \right] = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3m - 2 = 0\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt nhỏ hơn $2 \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{x_1},\,\,{x_2} \ne 1\\{x_1} < {x_2} < 2\end{array} \right..$ 

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\{x_1} + {x_2} < 4\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\\1 + m + 2 + 3m - 2 \ne 0\\ - \left( {m + 2} \right) < 4\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 12 > 0\\4m \ne  - 1\\m >  - 6\\3m - 2 + 2\left( {m + 2} \right) + 4 > 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\\m \ne  - \dfrac{1}{4}\\m >  - 6\\m >  - \dfrac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{6}{5} < m < 2\\m \ne  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}$ 

$m{x^2} - 4x + 1 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\16 - 4m > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\4 > m\end{array} \right.$

+ TH1: $m + 1 = 0$$\Leftrightarrow m =  - 1$$\Rightarrow 2x - 3 = 0$, phương trình có nghiệm

+ TH2: $m \ne  - 1$$\Rightarrow \Delta ' = {m^2} - \left( {m - 2} \right)$$\left( {m + 1} \right) = m + 2$

Phương trình vô nghiệm khi $\Delta ' < 0$$\Leftrightarrow m + 2 < 0$$\Leftrightarrow m <  - 2$

Vậy phương trình vô nghiệm khi $m < - 2$

Điều kiện : $x >  - 2$ .

$2x + \dfrac{2}{{\sqrt {x + 2} }} =  - {x^2} + \dfrac{2}{{\sqrt {x + 2} }}$

$\Rightarrow$ $2x =  - {x^2} \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2(loai)\end{array} \right.$ .

Kết hợp với điều kiện ta được $x = 0$ là nghiệm duy nhất.

Điều kiện: $x \ge \dfrac{7}{2}$ .

$\sqrt {2x - 7}  = 1$ $\Rightarrow$ $2x - 7 = 1 \Leftrightarrow x = 4$ .

Kết hợp với điều kiện ta được $x = 4$ là nghiệm duy nhất..

Điều kiện : $x \ne  \pm 1$ .

$\dfrac{{3x + 3}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{4}{{x - 1}} = 3 \Rightarrow 3x + 3 + 4(x + 1) = 3({x^2} - 1) \Leftrightarrow 3{x^2} - 7x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{{10}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$ .

Nên $x = \dfrac{{10}}{3}$ là nghiệm duy nhất.

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 5 \ge 0}\\{2 - x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{5}{3}\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{3} \le x < 2$.

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 \ge 0}\\{x \ne 0}\\{{x^2} + 3x - 4 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \ne 1\\x \ne 0\\x \ne  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow$ $x \in \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0,1} \right\}$.

Ta có $\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 4 = 4 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.$.

Ta có: $mx + 2 = 2{m^2}x + 4m \Leftrightarrow m\left( {2m - 1} \right)x =  - 2\left( {2m - 1} \right)\,\,\,\,\left( * \right)$ .

Phương trình $\left( * \right)$ vô số nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {2m - 1} \right) = 0\\2 - 4m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$.

Phương trình $m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm khi:

$\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m + 1} \right)^2} - 4{m^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ge  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$.

Đặt $t = {x^2},\left( {t \ge 0} \right)$, phương trình trở thành: $\left( {1 - \sqrt 5 } \right){t^2} + 5t + 10\left( {1 + \sqrt 5 } \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$.

Phương trình $\left( * \right)$ có hệ số $a.c = \left( {1 - \sqrt 5 } \right)10\left( {1 + \sqrt 5 } \right) =  - 40 < 0$ $\Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt.

Ta gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là  ${x_1},{x_2}$. Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} =  - \dfrac{2}{5}\\{x_1} + {x_2} = \dfrac{9}{5}\end{array} \right.$

$\Rightarrow M = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = \dfrac{{81}}{{25}} - 2\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) = \dfrac{{101}}{{25}}.$

Phương trình cho:

$\begin{array}{l}\left| {2x - 5} \right| - 2x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left| {2x - 5} \right| = 2x - 5\\ \Leftrightarrow 2x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2}\end{array}$

Nên phương trình cho vô số nghiệm

$\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Ta có: $\left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| - \dfrac{{117}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| = \dfrac{{117}}{3}$

Số nghiệm của phương trình $\left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| - \dfrac{{117}}{3} = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|$ và đường thẳng $y = \dfrac{{117}}{3}$

Để vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|$ ta vẽ đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x - 5$, sau đó suy ra đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4\left| x \right| - 5$ bằng cách: bỏ đi phần đồ thị bên trái trục Oy, lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua Oy.

Từ đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4\left| x \right| - 5$ ta suy ra đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|$ bằng cách lấy đối xứng toàn bộ phần đồ thị phía dưới trục Ox qua Ox sau đó bỏ đi phần đồ thị phía dưới trục Ox.

Dựa vào đồ thị thì đường thẳng $y = \dfrac{{117}}{3}$cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|$  tại hai điểm phân  biệt nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.