Ngày Valentine, hãng $X$ áp dụng chương trình giảm giá $10 \%$ cho khách hàng, tối đa $50000$VNĐ. Một người đi taxi của hãng $\mathrm{X}$ trong dịp này phải trả $360000$VNĐ thì người đó đã đi quãng đường là bao nhiêu?
Bước 1: Số tiền chưa được giảm=Số tiền đã trả:(100%-10%)
Nếu không được giảm giá $10 \%$ thì người đi xe phải trả số tiền là:
$360000 :(100 \%-10 \%)=400000$(đồng)
Bước 2: Tìm quãng đường
Vì $100000<400000<550000$ nên người đi xe đã đi được quãng đường là:
$\dfrac{400000+50000}{15000}=30(\mathrm{~km})$
Vậy người đó đã đi được quãng đường dài $30 \mathrm{~km}$
Một người đi taxi của hãng $\mathrm{X}$ từ $A$ đến $B$, sau đó phải bắt taxi một lần nữa để đi từ $B$ đến $C$. Biết quãng đường $A B$ trong khoảng từ 10 đến $40 \mathrm{~km}$, quãng đường $B C$ dài hơn quãng đường $A B$ là $32 \mathrm{~km}$. Số tiền người đó phải trả ở quãng đường $B C$ gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường $A B$. Tính độ dài quãng đường $A B$
Bước 1: Gọi $x(k m)(10<x<40)$ là độ dài quãng đường $A B$
Gọi $x(k m)(10<x<40)$ là độ dài quãng đường $A B$.
Vì quãng đường $B C$ dài hơn quãng đường $A B$ là $32 \mathrm{~km}$ nên quãng đường $B C$ dài $x+32(k m)$
Bước 2: Lập phương trình
Vì số tiền người đó phải trả ở quãng đường $B C$ gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường $A B$ nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}12500(x + 32) + 50000\\ = 2,8 \cdot (15000x - 50000)\\ \Leftrightarrow x = 20(km)\end{array}\)
Vậy quãng đường $A B$ dài $20 \mathrm{~km}$
Thiết lập công thức liên hệ giữa quãng đường di chuyển và số tiền tương ứng phải trả. Nếu một người đi taxi của hãng $\mathrm{X}$ phải trả số tiền xe là $475000 \mathrm{VNĐ}$ thì người đó đã đi quãng đường là bao nhiêu?
Bước 1: Lập công thức
$f(x) = $\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}10000x(0 < x \le 10)\\10000 \cdot 10 + (x - 10) \cdot 15000(10 < x \le 40)\\10000 \cdot 10 + 15000 \cdot 30 + (x - 40) \cdot 12500(x > 40)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10000x}&{(0 < x \le 10)}\\{15000x - 50000}&{(10 < x \le 40)}\\{12500x + 50000}&{(x > 40)}\end{array}} \right.\end{array}\)
Bước 2: Xác định các khoảng của $f(x)$ ứng với các khoảng của $x$
Để xác định số tiền xe là $475000$VNĐ mà người đi xe phải trả ứng với quãng đường di chuyển dài bao nhiêu, ta cần xác định công thức tương ứng
Với $f(x)=10000 x, 0<x \leq 10$ thì $0<f(x) \leq 100000$
Với $f(x)=15000 x-50000,10<x \leq 40$ thì $100000<f(x) \leq 550000$
Với $f(x)=12500 x+50000, x>40$ thì $f(x)>550000$
Bước 3: Tìm $x$ khi $f(x)=475 000$
Vi $100000<475000<550000$ nên ứng với số tiền xe $475000 \mathrm{VNĐ}$ ta có:
$15000x-50000=475 000$
Người đi xe đã đi được quãng đường là $\dfrac{475000+50000}{15000}=35(\mathrm{~km})$
Vậy người đó đã đi được quãng đường dài $35 \mathrm{~km}$
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 32\\xy = 12\end{array} \right.\)có bao nhiêu nghiệm?
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 32\\xy = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{12}}{x}\\{x^2} - \dfrac{{144}}{{{x^2}}} = 32\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{12}}{x}\\{x^4} - 32{x^2} - 144 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{12}}{x}\\{x^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \({x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x - 3m + 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt nhỏ hơn \(2\) ?
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3m - 2} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3m - 2 = 0\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt nhỏ hơn \(2 \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1},\,\,{x_2} \ne 1\\{x_1} < {x_2} < 2\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\{x_1} + {x_2} < 4\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\\1 + m + 2 + 3m - 2 \ne 0\\ - \left( {m + 2} \right) < 4\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 12 > 0\\4m \ne - 1\\m > - 6\\3m - 2 + 2\left( {m + 2} \right) + 4 > 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\\m \ne - \dfrac{1}{4}\\m > - 6\\m > - \dfrac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{6}{5} < m < 2\\m \ne - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\)
Điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 4x + 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt là:
\(m{x^2} - 4x + 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\16 - 4m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\4 > m\end{array} \right.\)
Phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 2mx + m - 2 = 0\) vô nghiệm khi
+ TH1: \(m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = - 1\)\( \Rightarrow 2x - 3 = 0\), phương trình có nghiệm
+ TH2: \(m \ne - 1\)\( \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - \left( {m - 2} \right)\)\(\left( {m + 1} \right) = m + 2\)
Phương trình vô nghiệm khi \(\Delta ' < 0\)\( \Leftrightarrow m + 2 < 0\)\( \Leftrightarrow m < - 2\)
Vậy phương trình vô nghiệm khi \(m < - 2\)
Số nghiệm của phương trình \(2x + \dfrac{2}{{\sqrt {x + 2} }} = - {x^2} + \dfrac{2}{{\sqrt {x + 2} }}\) là:
Điều kiện : \(x > - 2\) .
\(2x + \dfrac{2}{{\sqrt {x + 2} }} = - {x^2} + \dfrac{2}{{\sqrt {x + 2} }}\)
\( \Rightarrow \) \(2x = - {x^2} \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0 \) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2(loai)\end{array} \right.\) .
Kết hợp với điều kiện ta được \(x = 0\) là nghiệm duy nhất.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {2x - 7} = 1\) là
Điều kiện: \(x \ge \dfrac{7}{2}\) .
\(\sqrt {2x - 7} = 1\) \( \Rightarrow \) \(2x - 7 = 1 \Leftrightarrow x = 4\) .
Kết hợp với điều kiện ta được \(x = 4\) là nghiệm duy nhất..
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{{3x + 3}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{4}{{x - 1}} = 3\) là:
Điều kiện : \(x \ne \pm 1\) .
\(\dfrac{{3x + 3}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{4}{{x - 1}} = 3 \Rightarrow 3x + 3 + 4(x + 1) = 3({x^2} - 1) \Leftrightarrow 3{x^2} - 7x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{{10}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) .
Nên \(x = \dfrac{{10}}{3}\) là nghiệm duy nhất.
Tập xác định của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {3x + 5} }}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt {2 - x} }}\) là
Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 5 \ge 0}\\{2 - x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{5}{3}\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{5}{3} \le x < 2\).
Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{x} = \dfrac{2}{{{x^2} + 3x - 4}}\) là
Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 \ge 0}\\{x \ne 0}\\{{x^2} + 3x - 4 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ne 1\\x \ne 0\\x \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \) \(x \in \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0,1} \right\}\).
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = 2\) là
Ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 4 = 4 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\).
Gọi \(n\) là số các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(mx + 2 = 2{m^2}x + 4m\) vô số nghiệm. Thế thì \(n\) là :
Ta có: \(mx + 2 = 2{m^2}x + 4m \Leftrightarrow m\left( {2m - 1} \right)x = - 2\left( {2m - 1} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\) .
Phương trình \(\left( * \right)\) vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {2m - 1} \right) = 0\\2 - 4m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).
Phương trình \(m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm khi:
Phương trình \(m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m + 1} \right)^2} - 4{m^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ge - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\).
Số nghiệm phương trình: \(\left( {1 - \sqrt 5 } \right){x^4} + 5{x^2} + 10\left( {1 + \sqrt 5 } \right) = 0\) là:
Đặt \(t = {x^2},\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành: \(\left( {1 - \sqrt 5 } \right){t^2} + 5t + 10\left( {1 + \sqrt 5 } \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\).
Phương trình \(\left( * \right)\) có hệ số \(a.c = \left( {1 - \sqrt 5 } \right)10\left( {1 + \sqrt 5 } \right) = - 40 < 0\) \( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt.
Gọi \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của phương trình: \(5{x^2} - 9x - 2 = 0.\) Khi đó giá trị của biểu thức\(M = x_1^2 + x_2^2\) là:
Ta gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là ${x_1},{x_2}$. Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = - \dfrac{2}{5}\\{x_1} + {x_2} = \dfrac{9}{5}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow M = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = \dfrac{{81}}{{25}} - 2\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) = \dfrac{{101}}{{25}}.\)
Phương trình $\left| {2x - 5} \right| - 2x + 5 = 0$ có bao nhiêu nghiệm ?
Phương trình cho:
$\begin{array}{l}\left| {2x - 5} \right| - 2x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left| {2x - 5} \right| = 2x - 5\\ \Leftrightarrow 2x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2}\end{array}$
Nên phương trình cho vô số nghiệm
Số nghiệm nguyên dương của phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) là:
\(\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\).
Phương trình \(\left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| - \dfrac{{117}}{3} = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?
Ta có: \(\left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| - \dfrac{{117}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| = \dfrac{{117}}{3}\)
Số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| - \dfrac{{117}}{3} = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|\) và đường thẳng \(y = \dfrac{{117}}{3}\)
Để vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|$ ta vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x - 5\), sau đó suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\left| x \right| - 5\) bằng cách: bỏ đi phần đồ thị bên trái trục Oy, lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua Oy.
Từ đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\left| x \right| - 5\) ta suy ra đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|$ bằng cách lấy đối xứng toàn bộ phần đồ thị phía dưới trục Ox qua Ox sau đó bỏ đi phần đồ thị phía dưới trục Ox.
Dựa vào đồ thị thì đường thẳng \(y = \dfrac{{117}}{3}\)cắt đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|\) tại hai điểm phân biệt nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
