Bất phương trình \(ax + b > 0\) vô nghiệm khi:
Từ phương pháp biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn ta thấy:
Nếu \(a = 0\) và \(b \le 0\) thì bất phương trình vô nghiệm.
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\mx > 3\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\)
+) Nếu \(m = 0,\) hệ vô nghiệm.
+) Nếu \(m > 0 \Rightarrow \left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x > \dfrac{3}{m}\end{array} \right.,\) hệ luôn có nghiệm.
+) Nếu \(m < 0 \Rightarrow \left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \dfrac{3}{m} < 0\end{array} \right.,\) hệ vô nghiệm.
Vậy \(m > 0\) thỏa mãn.
Tập nghiệm của bất phương trình \(9\left( {x - \dfrac{1}{5}} \right) < 7 - 2x\) là
\(9\left( {x - \dfrac{1}{5}} \right) < 7 - 2x \Leftrightarrow 9x - \dfrac{9}{5} < 7-2x -2x \)\( \Leftrightarrow 11x < \dfrac{{44}}{5} \Leftrightarrow x < \dfrac{4}{5}.\)
Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\4 - 3x \ge 0\end{array} \right.\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\4 - 3x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 1\\3x \le 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{1}{2}\\x \le \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{4}{3}.\)
Vậy \(S = \left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{4}{3}} \right].\)
Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình: \( - 4x + 16 \le 0.\)
\( - 4x + 16 \le 0 \Leftrightarrow 4x \ge 16 \Leftrightarrow x \ge 4.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {4; + \infty } \right).\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(5x - \dfrac{{x + 1}}{5} - 4 < 2x - 7\) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}5x - \dfrac{{x + 1}}{5} - 4 < 2x - 7\\ \Leftrightarrow 5\left( {5x - \dfrac{{x + 1}}{5} - 4} \right) < 5\left( {2x - 7} \right)\\ \Leftrightarrow 25x - \left( {x + 1} \right) - 20 < 10x - 35\\ \Leftrightarrow 25x - x - 1 - 20 < 10x - 35\\ \Leftrightarrow 25x - x - 10x < 1 + 20 - 35\\ \Leftrightarrow 14x < - 14\\ \Leftrightarrow x < - 1\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Bất phương trình \(ax + b > 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi:
Bất phương trình \(ax + b > 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) nếu \(a = 0,b > 0\).
Bất phương trình \(ax + b \le 0\) vô nghiệm khi:
- Nếu \(a > 0\) thì \(ax + b \le 0\)\( \Leftrightarrow x \le - \dfrac{b}{a}\) nên \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{b}{a}} \right] \ne \emptyset \).
- Nếu \(a < 0\) thì \(ax + b \le 0\)\( \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{b}{a}\) nên \(S = \left[ { - \dfrac{b}{a}; + \infty } \right) \ne \emptyset \).
- Nếu \(a = 0\) thì \(ax + b \le 0\) có dạng $0x + b \le 0$
- Với \(b \le 0\) thì \(S = \mathbb{R}.\)
- Với \(b > 0\) thì \(S = \emptyset .\)
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x < 3 - 2\sqrt 2 \) là:
Bất phương trình \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x < 3 - 2\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }} = \dfrac{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{1 - \sqrt 2 }} = 1 - \sqrt 2 .\)
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình ${\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} \ge {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + 2$ là:
Bất phương trình ${\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} \ge {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + 2$ tương đương với:
\({x^2} + 2\sqrt 3 x + 3 \ge {x^2} - 2\sqrt 3 x + 3 + 2\)\( \Leftrightarrow 4\sqrt 3 x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\)
\( \Rightarrow S = \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}; + \infty } \right)\)
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình $5\left( {x + 1} \right) - x\left( {7{\rm{ }} - {\rm{ }}x} \right) > - 2x$ là:
Ta có:
$5\left( {x + 1} \right) - x\left( {7{\rm{ }} - {\rm{ }}x} \right) > - 2x$
\(\Leftrightarrow 5x + 5 - 7x + {x^2} > - 2x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 5 > 0\) (luôn đúng)
\( \Rightarrow S = \mathbb{R}\)
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + 15 < {x^2} + {\left( {x - 4} \right)^2}\) là:
Bất phương trình tương đương \({x^2} - 2x + 1 + {x^2} - 6x + 9 + 15 < {x^2} + {x^2} - 8x + 16\)
\( \Leftrightarrow 0.x < - 9 \Leftrightarrow 0 < - 9\) (vô nghiệm)
\( \Rightarrow S = \emptyset \).
Bất phương trình \(\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) - 3x + 1 \le \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5\) có tập nghiệm
Bất phương trình \(\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) - 3x + 1 \le \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5\) tương đương với \(2{x^2} + 5x - 3 - 3x + 1 \le {x^2} + 2x - 3 + {x^2} - 5\) \( \Leftrightarrow 0.x \le - 6 \Leftrightarrow 0 \le - 6\) (vô nghiệm)
\( \Rightarrow S = \emptyset \)
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(x + \sqrt x < \left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\) là:
Điều kiện: \(x \ge 0.\)
Bất phương trình tương đương
\(x + \sqrt x < 2x - 2\sqrt x + 3\sqrt x - 3\)\( \Leftrightarrow - x < - 3 \Leftrightarrow x > 3\)
\( \Rightarrow S = \left( {3; + \infty } \right)\)
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình $x + \sqrt {x - 2} \le 2 + \sqrt {x - 2} $ là:
Điều kiện: \(x \ge 2.\)
Bất phương trình tương đương \(x \le 2 \Rightarrow x = 2\).
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\left( {x - 3} \right)\sqrt {x - 2} \ge 0\) là:
Điều kiện: \(x \ge 2.\)
Bất phương trình tương đương với \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} = 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x \ge 3\end{array} \right..\)
Bất phương trình $\left( {{m^2} - 3m} \right)x + m < 2 - 2x$ vô nghiệm khi
Bất phương trình tương đương với $\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x < 2 - m$.
Rõ ràng nếu \({m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 1}\\{m \ne 2}\end{array}} \right.\) bất phương trình luôn có nghiệm.
Với \(m = 1\) bất phương trình trở thành \(0x < 1\): vô số nghiệm.
Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x < 0\): vô nghiệm.
Vậy chỉ 1 giá trị $m=2$ thỏa mãn bài toán.
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(mx - 2 \le x - m\) vô nghiệm.
Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 1} \right)x \le 2 - m.\)
Rõ ràng nếu \(m \ne 1\) bất phương trình luôn có nghiệm.
Xét \(m = 1\) bất phương trình trở thành \(0x \le 1\): nghiệm đúng với mọi $x$.
Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bất phương trình ${m^2}\left( {x - 1} \right) \ge 9x + 3m$ nghiệm đúng với mọi \(x\) khi
Bất phương trình tương đương với $\left( {{m^2} - 9} \right)x \ge {m^2} + 3m.$
Dễ dàng thấy nếu ${m^2} - 9 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 3$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)
Với \(m = 3\) bất phương trình trở thành \(0x > 18\): vô nghiệm
Với \(m = - 3\) bất phương trình trở thành \(0x \ge 0\): nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}.$
Vậy giá trị cần tìm là \(m = - 3.\)
Bất phương trình $4{m^2}\left( {2x - 1} \right) \ge \left( {4{m^2} + 5m + 9} \right)x - 12m$ nghiệm đúng với mọi \(x\) khi
Bất phương trình tương đương với $\left( {4{m^2} - 5m - 9} \right)x \ge 4{m^2} - 12m$.
Dễ dàng thấy nếu $4{m^2} - 5m - 9 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne - 1}\\{m \ne \dfrac{9}{4}}\end{array}} \right.$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Với \(m = - 1\) bất phương trình trở thành \(0x \ge 16\): vô nghiệm.
Với \(m = \dfrac{9}{4}\) bất phương trình trở thành \(0x \ge - \dfrac{{27}}{4}\): nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị cần tìm là \(m = \dfrac{9}{4}\).
