Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Từ phương pháp biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn ta thấy:

Nếu $a = 0$ và $b \le 0$ thì bất phương trình vô nghiệm.

$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\mx > 3\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)$

+) Nếu $m = 0,$ hệ vô nghiệm.

+) Nếu $m > 0 \Rightarrow \left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x > \dfrac{3}{m}\end{array} \right.,$ hệ luôn có nghiệm.

+) Nếu $m < 0 \Rightarrow \left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \dfrac{3}{m} < 0\end{array} \right.,$ hệ vô nghiệm.

Vậy $m > 0$ thỏa mãn.

$9\left( {x - \dfrac{1}{5}} \right) < 7 - 2x \Leftrightarrow 9x - \dfrac{9}{5} < 7-2x -2x$$\Leftrightarrow 11x < \dfrac{{44}}{5} \Leftrightarrow x < \dfrac{4}{5}.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\4 - 3x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 1\\3x \le 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{1}{2}\\x \le \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{4}{3}.$

Vậy $S = \left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{4}{3}} \right].$

$- 4x + 16 \le 0 \Leftrightarrow 4x \ge 16 \Leftrightarrow x \ge 4.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {4; + \infty } \right).$

Ta có:

$\begin{array}{l}5x - \dfrac{{x + 1}}{5} - 4 < 2x - 7\\ \Leftrightarrow 5\left( {5x - \dfrac{{x + 1}}{5} - 4} \right) < 5\left( {2x - 7} \right)\\ \Leftrightarrow 25x - \left( {x + 1} \right) - 20 < 10x - 35\\ \Leftrightarrow 25x - x - 1 - 20 < 10x - 35\\ \Leftrightarrow 25x - x - 10x < 1 + 20 - 35\\ \Leftrightarrow 14x <  - 14\\ \Leftrightarrow x <  - 1\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - \infty ; - 1} \right)$

Bất phương trình $ax + b > 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ nếu $a = 0,b > 0$.

• Nếu $a > 0$ thì $ax + b \le 0$$\Leftrightarrow x \le - \dfrac{b}{a}$ nên $S = \left( { - \infty ; - \dfrac{b}{a}} \right] \ne \emptyset$.
• Nếu $a < 0$ thì $ax + b \le 0$$\Leftrightarrow x \ge - \dfrac{b}{a}$ nên $S = \left[ { - \dfrac{b}{a}; + \infty } \right) \ne \emptyset$.
• Nếu $a = 0$ thì $ax + b \le 0$ có dạng $0x + b \le 0$
• Với $b \le 0$ thì $S = \mathbb{R}.$
• Với $b > 0$ thì $S = \emptyset .$

Bất phương trình $\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x < 3 - 2\sqrt 2$$\Leftrightarrow x > \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }} = \dfrac{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{1 - \sqrt 2 }} = 1 - \sqrt 2 .$

Bất phương trình ${\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} \ge {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + 2$ tương đương với:

${x^2} + 2\sqrt 3 x + 3 \ge {x^2} - 2\sqrt 3 x + 3 + 2$$\Leftrightarrow 4\sqrt 3 x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$

$\Rightarrow S = \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}; + \infty } \right)$

Ta có:

$5\left( {x + 1} \right) - x\left( {7{\rm{ }} - {\rm{ }}x} \right) >  - 2x$

$\Leftrightarrow  5x + 5 - 7x + {x^2} >  - 2x$

$\Leftrightarrow {x^2} + 5 > 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow S = \mathbb{R}$

Bất phương trình tương đương ${x^2} - 2x + 1 + {x^2} - 6x + 9 + 15 < {x^2} + {x^2} - 8x + 16$

$\Leftrightarrow 0.x <  - 9 \Leftrightarrow 0 <  - 9$ (vô nghiệm)

$\Rightarrow S = \emptyset$.

Bất phương trình $\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) - 3x + 1 \le \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5$ tương đương với $2{x^2} + 5x - 3 - 3x + 1 \le {x^2} + 2x - 3 + {x^2} - 5$ $\Leftrightarrow 0.x \le  - 6 \Leftrightarrow 0 \le  - 6$ (vô nghiệm)
$\Rightarrow S = \emptyset$

Điều kiện: $x \ge 0.$

Bất phương trình tương đương

    $x + \sqrt x  < 2x - 2\sqrt x  + 3\sqrt x  - 3$$\Leftrightarrow  - x <  - 3 \Leftrightarrow x > 3$

$\Rightarrow S = \left( {3; + \infty } \right)$

Điều kiện: $x \ge 2.$

Bất phương trình tương đương $x \le 2 \Rightarrow x = 2$.

Điều kiện: $x \ge 2.$

Bất phương trình tương đương với $\left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  = 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x \ge 3\end{array} \right..$

Bất phương trình tương đương với $\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x < 2 - m$.

Rõ ràng nếu ${m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 1}\\{m \ne 2}\end{array}} \right.$ bất phương trình luôn có nghiệm.

Với $m = 1$ bất phương trình trở thành $0x < 1$: vô số nghiệm.

Với $m = 2$ bất phương trình trở thành $0x < 0$: vô nghiệm.

Vậy chỉ 1 giá trị $m=2$ thỏa mãn bài toán.

Bất phương trình tương đương với $\left( {m - 1} \right)x \le 2 - m.$

Rõ ràng nếu $m \ne 1$ bất phương trình luôn có nghiệm.

Xét $m = 1$ bất phương trình trở thành $0x \le 1$: nghiệm đúng với mọi $x$.

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bất phương trình tương đương với $\left( {{m^2} - 9} \right)x \ge {m^2} + 3m.$

Dễ dàng thấy nếu ${m^2} - 9 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 3$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng $\forall x \in \mathbb{R}$

Với $m = 3$ bất phương trình trở thành $0x > 18$: vô nghiệm

Với $m =  - 3$ bất phương trình trở thành $0x \ge 0$: nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}.$

Vậy giá trị cần tìm là $m =  - 3.$

Bất phương trình tương đương với $\left( {4{m^2} - 5m - 9} \right)x \ge 4{m^2} - 12m$.

Dễ dàng thấy nếu $4{m^2} - 5m - 9 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne  - 1}\\{m \ne \dfrac{9}{4}}\end{array}} \right.$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Với $m =  - 1$ bất phương trình trở thành $0x \ge 16$: vô nghiệm.

Với $m = \dfrac{9}{4}$ bất phương trình trở thành $0x \ge  - \dfrac{{27}}{4}$: nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy giá trị cần tìm là $m = \dfrac{9}{4}$.