Ta có: \(\left| {3 - x} \right| = \left| {2x - 5} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - x = 2x - 5\\3 - x = - 2x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 8\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{8}{3}\\x = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{{14}}{3}.\end{array}\)Phương trình \(\dfrac{b}{{x + 1}} = a\) vô nghiệm khi:
Điều kiện: \(x \ne - 1\)
Phương trình \(\dfrac{b}{{x + 1}} = a\,\,\,\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow a\left( {x + 1} \right) = b\) \( \Leftrightarrow ax = b - a\,\,\,\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất \(x = - 1\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b - a \ne 0\\\dfrac{{b - a}}{a} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b \ne 0\\b = 0,a \ne 0\end{array} \right.\).
Vậy \(\left[ \begin{array}{l}a = 0,b \ne 0\\b = 0,a \ne 0\end{array} \right.\)
Tập nghiệm của phương trình \( - 2x + \dfrac{1}{{x + 1}} = 1\) là :
Điều kiện: \(x \ne 1\)
Phương trình \( - 2x + \dfrac{1}{{x + 1}} = 1\) \( \Leftrightarrow - 2x\left( {x + 1} \right) + 1 = x + 1\)\( \Leftrightarrow - 2{x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\).
Vậy \(S = \left\{ {0; - \dfrac{3}{2}} \right\}\).
Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(\dfrac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x - 1}}{{x + 1}} = 1\) trong trường hợp \(m \ne 0\) là:
\(\dfrac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x - 1}}{{x + 1}} = 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\not = - 1\\\left( {{m^2} + 1} \right)x - 1 = x + 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{{{m^2}}}\)
Dễ thấy \(x = \dfrac{2}{{{m^2}}} > 0,\forall m \ne 0\) nên \(x \ne - 1\)
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 3;5} \right]\) để phương trình \(\dfrac{{x - m}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\) có nghiệm. Tổng các phần tử trong tập \(S\) bằng:
\(\dfrac{{x - m}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\not = \pm 1\\mx = m + 2\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho có nghiệm \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\not = 0\\x = 1 + \dfrac{2}{m}\not = \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\not = 0\\m\not = - 1\end{array} \right.\)
Vì \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 3;5} \right]\) nên \(m \in S = \left\{ { - 3; - 2;1;2;3;4;5} \right\}.\)
Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\dfrac{{{x^2} + mx + 2}}{{{x^2} - 1}} = 1\) vô nghiệm?
Ta có: \(\dfrac{{{x^2} + mx + 2}}{{{x^2} - 1}} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\not = \pm 1\\mx = - 3\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho vô nghiệm \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\\left\{ \begin{array}{l}m\not = 0\\ - \dfrac{3}{m} = \pm 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm 3\end{array} \right.\)
Phương trình \(\left| {ax + b} \right| = cx + d\) tương đương với phương trình:
Ta có: \(\left| {ax + b} \right| = cx + d \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}cx + d \ge 0\\ax + b = \pm \left( {cx + d} \right)\end{array} \right.\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {x + 2} \right| = 2\left| {x - 2} \right|\) bằng:
Phương trình \( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 4{\left( {x - 2} \right)^2} \Leftrightarrow 3{x^2} - 20x + 12 = 0\).
Do đó, tổng các nghiệm của phương trình bằng \( - \dfrac{b}{a} = \dfrac{{20}}{3}\).
Phương trình \(\left| {2x + 1} \right| = \left| {{x^2} - 3x - 4} \right|\) có bao nhiêu nghiệm?
Phương trình \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 = {x^2} - 3x - 4}\\{2x + 1 = - \left( {{x^2} - 3x - 4} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 5x - 5 = 0}\\{{x^2} - x - 3 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}}\\{x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}\end{array}} \right.\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {2x - 5} \right| + \left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| = 0\) bằng:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2x - 5} \right| \ge 0\\\left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| \ge 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left| {2x - 5} \right| + \left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| \ge 0\)
Dấu \('' = ''\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5 = 0\\2{x^2} - 7x + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x = 1 \vee x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\)
Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(\left| {2x - 1} \right| = x - 3\) là:
Phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\3{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{3}\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset \)
\( \Rightarrow S = \emptyset \).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {{x^2} + 5x + 4} \right| = x + 4\) bằng:
Phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\{\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)^2} = {\left( {x + 4} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\{\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)^2} - {\left( {x + 4} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)\left( {{x^2} + 4x} \right) = 0\end{array} \right.\,\)\( \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 6x + 8 = 0\\{x^2} + 4x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\)\( \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\\left[ \begin{array}{l}x = - 2,x = - 4\\x = 0,x = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = - 4\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow 0 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right) = - 6.\)
Gọi \({x_1},{\rm{ }}{x_2}{\rm{ }}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \(\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17\). Tính giá trị biểu thức \(P = x_1^2 + {x_2}.\)
Phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 17 \ge 0\\{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{17}}{4}\\{\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{17}}{4}\\\left( {{x^2} - 8x + 12} \right)\left( {{x^2} - 22} \right) = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{17}}{4}\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 8x + 12 = 0}\\{{x^2} - 22 = 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{17}}{4}\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 \vee x = 6}\\{x = \pm \sqrt {22} }\end{array}} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = \sqrt {22} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow P = {\left( {\sqrt {22} } \right)^2} + 6 = 28\)
Phương trình:\(\dfrac{{{x^2} - 1 + \left| {x + 1} \right|}}{{\left| x \right|\left( {x - 2} \right)}} = 2\) có nghiệm là:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.\)
Phương trình thành \({x^2} - 1 + \left| {x + 1} \right| = 2\left| x \right|\left( {x - 2} \right)\)
TH 1: \(x < - 1\)
Phương trình thành \({x^2} - 1 - x - 1 = 2\left( { - x} \right)\left( {x - 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 5x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{{ - 1}}{3}\;\;\left( l \right)\end{array} \right.\).
TH 2: \( - 1 \le x \le 0\)
Phương trình thành \({x^2} - 1 + x + 1 = - 2x\left( {x - 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( l \right)\\x = 1\;\;\left( l \right)\end{array} \right.\).
TH3: \(x > 0\)
Phương trình thành \({x^2} - 1 + x + 1 = 2x\left( {x - 2} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( l \right)\\x = 5\;\;\left( n \right)\end{array} \right.\).
Phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} - 3\left| {x + 1} \right| + 2 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Đặt \(t = \left| {x + 1} \right|\), \(\,t \ge 0\).
Phương trình trở thành \({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) hoặc \(t = 2\).
- Với \(t = 1\) ta có \(\left| {x + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow x + 1 = \pm 1 \Leftrightarrow x = - 2\) hoặc \(x = 0\).
- Với \(t = 2\) ta có \(\left| {x + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow x + 1 = \pm 2 \Leftrightarrow x = - 3\) hoặc \(x = 1\).
Vậy phương trình có bốn nghiệm là \(x = - 3,\,{\rm{ }}x = - 2,\,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1.\)
Với giá trị nào của \(a\) thì phương trình \(3\left| x \right| + 2ax = - 1\) có nghiệm duy nhất?
Dễ thấy, \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho.
Xét \(x \in \left( { - \infty ;0} \right)\):
Phương trình trở thành \( - 3x + 2ax = - 1 \Leftrightarrow \left( {2a - 3} \right)x = - 1\left( 1 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất khi \(2a - 3 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \dfrac{3}{2}\).
Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{{ - 1}}{{2a - 3}}\). Mà \(x < 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{2a - 3}} < 0 \Leftrightarrow 2a - 3 > 0 \Leftrightarrow a > \dfrac{3}{2}\).
Xét \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\):
Phương trình trở thành \(3x + 2ax = - 1 \Leftrightarrow \left( {2a + 3} \right)x = - 1\;\;\;\;\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất khi \(2a + 3 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne - \dfrac{3}{2}\).
Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{{ - 1}}{{2a + 3}}\). Mà \(x > 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{2a + 3}} > 0\)\( \Leftrightarrow 2a + 3 < 0 \Leftrightarrow a < - \dfrac{3}{2}\)
Phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 3 - x\) có tập nghiệm là:
\(\left| {x - 3} \right| = 3 - x \Leftrightarrow x - 3 \le 0 \Leftrightarrow x \le 3\)
Phương trình $\dfrac{b}{{x + 1}} = a$ có nghiệm duy nhất khi:
Điều kiện: $x \ne - 1$
Phương trình \(\dfrac{b}{{x + 1}} = a\,\,\,\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow a\left( {x + 1} \right) = b\)\( \Leftrightarrow ax = b - a\,\,\,\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất
\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất khác \( - 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\dfrac{{b - a}}{a} \ne 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\b - a \ne a\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\b \ne 0\end{array} \right.\).
Tập nghiệm của phương trình $2x + \dfrac{3}{{x - 1}} = \dfrac{{3x}}{{x - 1}}$ là :
Điều kiện: $x \ne 1$
Phương trình $2x + \dfrac{3}{{x - 1}} = \dfrac{{3x}}{{x - 1}}$$ \Leftrightarrow 2x\left( {x - 1} \right) + 3 = 3x$$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{3}{2}\;\;\left( n \right)\end{array} \right.$.
Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{3}{2}} \right\}\).
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{\left( {{m^2} + 2} \right)x + 3m}}{x} = 2\) trường hợp \(m \ne 0\) là:
Điều kiện: \(x \ne 0\)
Phương trình thành \(\left( {{m^2} + 2} \right)x + 3m = 2x\)\( \Leftrightarrow {m^2}x = - 3m\)
Vì \(m \ne 0\) suy ra \(x = \dfrac{{ - 3}}{m}\).
