Trong hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\), tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + \overrightarrow j \) là
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow i = \left( {1;0} \right)\\\overrightarrow j = \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow i + \overrightarrow j = \left( {1;1} \right)\)
Cho \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)\) thì:
\(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = 0.\overrightarrow i + \left( { - 1} \right).\overrightarrow j = - \overrightarrow j \)
Cho điểm \(M\left( {3;1} \right)\), khi đó:
Vì \(M\left( {3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM} = \left( {3;1} \right)\)
Cho điểm \(M\left( { - 2;4} \right)\), khi đó:
Vì \(M\left( { - 2;4} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM} = - 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \).
Trong hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(A\left( {2; - 3} \right),{\rm{ }}B\left( {4;7} \right).\) Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{2 + 4}}{2} = 3\\{y_I} = \dfrac{{ - 3 + 7}}{2} = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {3;2} \right)\)
Trong hệ tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3;5} \right),{\rm{ }}B\left( {1;2} \right),{\rm{ }}C\left( {5;2} \right).\) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC?\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{3 + 1 + 5}}{3} = 3\\{y_G} = \dfrac{{5 + 2 + 2}}{3} = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {3;3} \right)\)
Trong hệ tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {6;1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 3;5} \right)\) và trọng tâm \(G\left( { - 1;1} \right)\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\)?
Gọi \(C\left( {x;y} \right).\)
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{6 + \left( { - 3} \right) + x}}{3} = - 1\\\dfrac{{1 + 5 + y}}{3} = 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = - 3\end{array} \right.\)
Trong hệ tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(C\left( { - 2; - 4} \right)\), trọng tâm \(G\left( {0;4} \right)\) và trung điểm cạnh \(BC\) là \(M\left( {2;0} \right).\) Tổng hoành độ của điểm \(A\) và \(B\) là
Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_C} = 2.2 - \left( { - 2} \right) = 6\\{y_B} = 2{y_M} - {y_C} = 2.0 - \left( { - 4} \right) = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow B\left( {6;4} \right)\)
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3{x_G} - {x_B} - {x_C} = - 4\\{y_A} = 3{y_G} - {y_B} - {y_C} = 12\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - 4;12} \right)\)
Suy ra \({x_A} + {x_B} = 2.\)
Trong hệ tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 1} \right)\), \(B\left( {5; - 3} \right)\) và \(C\) thuộc trục \(Ox\), trọng tâm \(G\) của tam giác thuộc trục \(Oy\). Tìm tọa độ điểm \(C.\)
Ta có: \(P\) thuộc trục \(Ox \Rightarrow C\left( {x;0} \right)\), \(G\) nằm trên trục \(Oy \Rightarrow G\left( {0;y} \right)\)
\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{1 + 5 + x}}{3}\\y = \dfrac{{( - 1) + ( - 3) + 0}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
$=>$ $G(0;- \dfrac{4}{3})$ và $C(-6;0)$.
Vậy điểm cần tìm là \(C\left( { - 6;0} \right)\).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(\left( {O;\,\,\overrightarrow i ;\,\,\overrightarrow j } \right)\) cho điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j .\) Tọa độ của M là:
Ta có: \(\overrightarrow {OM} = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( { - 2;\,\,3} \right) \Rightarrow M\left( { - 2;\,\,3} \right).\)
Cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j \) thì tọa độ véc tơ \(\overrightarrow a \) là:
Vì \(\overrightarrow a = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow a = \left( {m;n} \right)\).
Cho \(\overrightarrow u = \left( { - 1;0} \right)\) thì:
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 1} \right).\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j = - \overrightarrow i \)
Cho điểm \(M\left( { - 3;1} \right)\), khi đó:
Vì \(M\left( { - 3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 3;1} \right)\)
Cho điểm \(M\left( {2; - 4} \right)\), khi đó:
Vì \(M\left( {2; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right){\rm{,B}}\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:
Ta có: $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.$
Vậy $I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$.
Cho hai điểm $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0; - 2} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là:
Ta có:
Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là: $I = \left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{{1 + 0}}{2};\dfrac{{0 + ( - 2)}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),{\rm{ }}B\left( {{x_B};{y_B}} \right) và {\rm{ }}C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm là gốc tọa độ $O$, hai đỉnh $A$ và $B$ có tọa độ là $A\left( { - 2;2} \right)$;$B\left( {3;5} \right)$. Tọa độ của đỉnh $C$ là:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_O} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{ - 2 + 3 + {x_C}}}{3}\\0 = \dfrac{{2 + 5 + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 1\\{y_C} = - 7\end{array} \right.$
Tam giác \(ABC\) có \(C\left( { - 2; - 4} \right)\), trọng tâm \(G\left( {0;4} \right)\), trung điểm cạnh \(BC\) là \(M\left( {2;0} \right)\). Tọa độ \(A\) và \(B\) là:
Ta có: \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \dfrac{{{x_B} + ( - 2)}}{2}\\0 = \dfrac{{{y_B} + ( - 4)}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {6;4} \right)\)
\(G\left( {0;4} \right)\)là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên $\left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{{x_A} + 6 + ( - 2)}}{3}\\4 = \dfrac{{{y_A} + 4 + ( - 4)}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 4\\{y_A} = 12\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 4;12} \right)$
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $B\left( {5; - 4} \right),C\left( {3;7} \right)$. Tọa độ của điểm $E$ đối xứng với $C$ qua $B$ là
Ta có: $E$ đối xứng với $C$ qua $B \Leftrightarrow B$ là trung điểm đoạn thẳng $EC$
Do đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5 = \dfrac{{{x_E} + 3}}{2}\\ - 4 = \dfrac{{{y_E} + 7}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 7\\{y_E} = - 15\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {7; - 15} \right)$
