Tìm điều kiện của tham số m để phương trình \(\left( {5{m^2} - 4} \right)x = 2m + x\) có nghiệm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {5{m^2} - 4} \right)x = 2m + x\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 4} \right)x - 2m - x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 5} \right)x - 2m = 0\end{array}\)
Phương trình trên có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{m^2} - 5 \ne 0\\ \Leftrightarrow 5\left( {{m^2} - 1} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \ne 1\\ \Leftrightarrow m \ne \pm 1\end{array}\)
Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right)x - m = 0\). Tìm m để phương trình luôn có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).
Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ne 1\).
Với \(m \ne 1\), phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{m}{{m - 1}}\).
Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {1;3} \right]\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \dfrac{m}{{m - 1}} \in \left[ {1;3} \right]\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\1 \le \dfrac{m}{{m - 1}} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{m}{{m - 1}} - 1 \ge 0\\\dfrac{m}{{m - 1}} - 3 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{1}{{m - 1}} \ge 0\\\dfrac{{ - 2m + 3}}{{m - 1}} \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m - 1 > 0\\ - 2m + 3 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2}\)
Tìm điều kiện của m để 2 parabol \(y = {x^2} + 2x + 2\) và \(y = - {x^2} + x - m\) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm
Hoành độ giao điểm của \(y = {x^2} + 2x + 2\) và \(y = - {x^2} + x - m\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + 2x + 2 = - {x^2} + x - m\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 2 + m = 0\)(1)
\(\Delta = - 8m - 15\)
Hai parabol cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm \( \Leftrightarrow \)(1) có 2 nghiệm phân biệt âm.
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8m - 15 > 0\\\dfrac{{2 + m}}{2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - \dfrac{{15}}{8}\\m > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < - \dfrac{{15}}{8}\end{array}\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2 = 0\) có nghiệm.
TH1: \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \)\(\Rightarrow 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{3}\)
TH2: \(m \ne 1\)
Để phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2 = 0\) có nghiệm
thì \(\Delta = {b^2} - 4ac \ge 0\)\( \Rightarrow \Delta = 9 - 4.\left( {m - 1} \right).2 \ge 0\)\(\Rightarrow m \le \dfrac{{17}}{8},m \ne 1\)
Kết hợp cả 2 trường hợp, phương trình có nghiệm khi \(m \le \dfrac{{17}}{8}\)
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right)x + m + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất ?
Để phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right)x + m + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất thì \({m^2} - 1 \ne 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} \ne {\rm{1}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne - 1\end{array} \right.\)
Tập tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( {m + 2} \right){x^2} - 2mx + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu ?
Để phương trình \(\left( {m + 2} \right){x^2} - 2mx + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì \(m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < - 2\)
Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right).\)
Tìm \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2 = 0\) có nghiệm âm.
+) \(m = 0\): PT \(\left( 1 \right)\) trở thành: \( - 2x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1 > 0\) (không thỏa mãn)
+) \(m \ne 0\)
\(\Delta = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4.m.2\)\( = 4{m^2} + 4 > 0\) với mọi \(m\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt với \(m \ne 0\).
PT \(\left( 1 \right)\) có \(1\) nghiệm âm \( \Leftrightarrow \)PT \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow \)\(ac < 0 \Leftrightarrow 2m < 0\)\( \Leftrightarrow m < 0\).
PT \(\left( 1 \right)\) có \(2\) nghiệm âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P > 0\\S < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m} > 0\\\dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 1 < m < 0\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\)
Vậy \(m < 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm âm.
Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a > 0} \right)$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a > 0} \right)$ có nghiệm duy nhất nếu $\Delta = {b^2} - 4ac = 0 \Leftrightarrow {b^2} = ac$.
Số $ - 1$ là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
Xét các đáp án:
- Đáp án A. Ta có \({\left( { - 1} \right)^2} + 4.\left( { - 1} \right) + 2 = - 1 \ne 0\).
- Đáp án B. Ta có $2.{\left( { - 1} \right)^2} - 5.\left( { - 1} \right) - 7 = 0$.
- Đáp án C. Ta có $ - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right) - 2 = - 10 \ne 0$.
- Đáp án D. Ta có ${\left( { - 1} \right)^3} - 1 = - 2 \ne 0$.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ { - 20;20} \right]$ để phương trình ${x^2} - 2mx + 144 = 0$ có nghiệm. Tổng của các phần tử trong $S$ bằng:
Phương trình có nghiệm khi ${\Delta ^/} = {m^2} - 144 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \ge {12^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 12\\m \le - 12\end{array} \right.$
Mà $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 20;20} \right]$\( \Rightarrow S = \left\{ { - 20; - 19; - 18;...; - 12;12;13;14;...;20} \right\}\)
Do đó tổng các phần tử trong tập $S$ bằng $0.$
Tìm tất cả các gía trị thực của tham số \(m\) sao cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt.
Phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\{x_1}{x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Giải \(\left( 1 \right)\): \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)
Giải \(\left( 2 \right)\):
\(\begin{array}{l}4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 8m + 4} \right) - \left( {4m - 4} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} - 16m + 4m + 16 > 0\\ \Leftrightarrow - 4m + 20 > 0\\ \Leftrightarrow m < 5\end{array}\)
Giải \(\left( 3 \right)\):
\(\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 4 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 4 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > - 4\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < - 4\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 4\end{array} \right.\)
Giải \(\left( 4 \right)\):
\(\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\)
Kết hợp cả \(4\) điều kiện ta được \(m < - 4\) hoặc \(1 < m < 5\).
Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$.
Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là ${x_1}$ và ${x_2}$.
Do ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai nghiệm dương nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}S > 0\\P > 0\end{array} \right.$.
Biết rằng phương trình ${x^2} - 4x + m + 1 = 0$ có một nghiệm bằng $3$. Nghiệm còn lại của phương trình bằng:
Vì phương trình đã cho có nghiệm bằng $3$ nên thay $x = 3$ vào phương trình, ta được \(9 - 12 + m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 2.\)
Với \(m = 2\) phương trình trở thành \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right..\)
Phương trình ${m^2}x + m - 3 = 0$ là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi:
Phương trình ${m^2}x + m - 3 = 0$ là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi:
$a = {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0$.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 5;10} \right]$ để phương trình \(\left( {m + 1} \right)x = \left( {3{m^2} - 1} \right)x + m - 1\) có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong $S$ bằng:
Phương trình viết lại $\left( {3{m^2} - m - 2} \right)x = 1 - m$.
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $3{m^2} - m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$
Do $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 5;10} \right]$ $ \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}.$
Do đó, tổng các phần tử trong $S$ bằng $39$.
Cho phương trình ${\left( {m + 1} \right)^2}x + 1 = \left( {7m - 5} \right)x + m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình đã cho vô nghiệm.
Phương trình viết lại $\left( {{m^2} - 5m + 6} \right)x = m - 1$.
Phương trình vô nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 6 = 0\\m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right.\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right..$
Cho hai hàm số $y = \left( {m + 1} \right){x^2} + 3{m^2}x + m$ và $y = \left( {m + 1} \right){x^2} + 12x + 2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau.
Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
$\left( {m + 1} \right){x^2} + 3{m^2}x + m = \left( {m + 1} \right){x^2} + 12x + 2$ vô nghiệm
$\Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 4} \right)x = 2 - m$ vô nghiệm
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 4 = 0}\\{2 - m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \pm 2}\\{m \ne 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - 2.$
Cho phương trình ${m^2}x + 6 = 4x + 3m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.
Phương trình viết lại $\left( {{m^2} - 4} \right)x = 3m - 6$.
Phương trình đã cho vô nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\3m - 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 2\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2$.
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi $m \ne - 2$.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình$\left( {{m^2} - 1} \right)x = m - 1$ có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
Phương trình đã cho nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ hay phương trình có vô số nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$.
Cho phương trình$\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + {m^2} + 4m + 5 = 0$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}.$
Phương trình đã cho nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ hay phương trình có vô số nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 = 0\\ - \left( {{m^2} + 4m + 5} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\\m \in \emptyset \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset $.
