Cho phương trình $\left( {m - 1} \right)x - m = 0$. Tìm m để phương trình luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left[ {1;3} \right]$.

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$.

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m \ne 1$.

Với $m \ne 1$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{m}{{m - 1}}$.

Phương trình có nghiệm thuộc $\left[ {1;3} \right]$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \dfrac{m}{{m - 1}} \in \left[ {1;3} \right]\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\1 \le \dfrac{m}{{m - 1}} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{m}{{m - 1}} - 1 \ge 0\\\dfrac{m}{{m - 1}} - 3 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{1}{{m - 1}} \ge 0\\\dfrac{{ - 2m + 3}}{{m - 1}} \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m - 1 > 0\\ - 2m + 3 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2}$