Phương trình chứa căn

Điều kiện: $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Khi đó:

$\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 7{\rm{x}} + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,(ktm)\\x = 5\,\,\,(tm)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 5$ .

Điều kiện: $2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2$

Khi đó: $\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} + 4 = 2 - x \Leftrightarrow {x^2}{\rm{ + 3x}} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\,\,\,(tm)\\x =  - 1\,\,\,\,(tm)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có $2$  nghiệm $x =  - 1$  và $x =  - 2$ .

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x \ge  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3$

Khi đó: $\sqrt {3 - x}  = \sqrt {x + 2}  + 1 \Leftrightarrow 3 - x = x + 2 + 1 + 2\sqrt {x + 2}  \Leftrightarrow  - 2{\rm{x}} = 2\sqrt {x + 2}  \Leftrightarrow  - {\rm{x}} = \sqrt {x + 2}$

Điều kiện $- x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 0$ nên điều kiện của $x$  là: $- 2 \le x \le 0$

Phương trình  $\Leftrightarrow {x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,\,(tm)\\x = 2\,\,\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có $1$ nghiệm $x =  - 1$

Điều kiện: $4x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{4}.$

Ta có: $\sqrt {4x + 1}  \ge 0\,\,\forall x \ge  - \dfrac{1}{4}$ $\Rightarrow \sqrt {4x + 1}  + 5 > 0\,\,\forall x \ge  - \dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow$ Phương trình đã cho vô nghiệm.

$\sqrt {2x - 3}  = x - 3$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\2x - 3 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6$

ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} - 3 \ge 0}\\{4{{\rm{x}}^2} - 15 \ge 0}\end{array}} \right.$ (*)

Với điều kiện (*) phương trình tương đương với

${\left( {\sqrt {2x - 3} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {4{x^2} - 15} } \right)^2} \Leftrightarrow 2{\rm{x}} - 3 = 4{{\rm{x}}^2} - 15$$\Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x =  - \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.$

Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có ${\rm{x}} = 2$ thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất ${\rm{x}} = 2$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} =  - \sqrt[3]{{x + 3}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}}} \right)^3} = {\left( { - \sqrt[3]{{x + 3}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow x + 1 + x + 2 + 3\sqrt[3]{{(x + 1)(x + 2)}}\left[ {\sqrt[3]{{(x + 1)}} + \sqrt[3]{{(x + 2)}}} \right] =  - x - 3\\ \Rightarrow 3\sqrt[3]{{(x + 1)(x + 2)}}.\left( { - \sqrt[3]{{x + 3}}} \right) =  - 3x - 6\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} = x + 2\\ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 2)(x + 3) = {(x + 2)^3}\\ \Leftrightarrow (x + 2)({x^2} + 4{\rm{x}} + 3 - {x^2} - 4{\rm{x}} - 4) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}$

Thay $x=-2$ lại phương trình ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -2$

ĐKXĐ : $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$.

Ta có $x\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {x - 1}  = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.$.

Kết hợp ĐKXĐ ta có $x = 1$.

Thử lại khi $x=1$ ta có $0=0$ (luôn đúng) $\Rightarrow S = \left\{ 1 \right\}$.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất.

ĐKXĐ : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ge 0\\2x - {x^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ge 0\\{x^2} - 2x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Thử lại :

$x = 0 \Rightarrow 0 = 0$ (luôn đúng).

$x = 2 \Rightarrow 0 = 0$  (luôn đúng).

Vậy $S = \left\{ {0;2} \right\}$.

$\sqrt {5x - 1}  = \sqrt {3x - 2}  + \sqrt {x - 1}$

TXĐ: $D = \left[ {1; + \infty } \right)$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5x - 1}  = \sqrt {3x - 2}  + \sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {5x - 1} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {3x - 2}  + \sqrt {x - 1} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow 5x - 1 = 3x - 2 + x - 1 + 2\sqrt {\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \\ \Leftrightarrow x + 2 = 2\sqrt {3{x^2} - 5x + 2} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 4\left( {3{x^2} - 5x + 2} \right)\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 4x + 4 = 12{x^2} - 20x + 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\11{x^2} - 24x + 4 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{2}{{11}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{2}{{11}}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có 1 nghiệm $x = 2$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} - 8x + 1}  = 5 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 8x + 1 = 25 - 10x + {x^2}\\5 - x \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2x - 24 = 0\\x \le 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 4\end{array} \right.\\x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 4\end{array} \right.\end{array}$.

Vậy $S = \left\{ {3; - 4} \right\}$.

Điều kiện: $- 4 \le x \le \dfrac{1}{2}$

$\sqrt {x + 4}  - \sqrt {1 - x}  = \sqrt {1 - 2x}$(1)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 4}  = \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 - 2x} \\ \Leftrightarrow x + 4 = 1 - x + 1 - 2x + 2\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \end{array}$

$\Leftrightarrow 4x + 2 = 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + 1 = \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{2}\\4{x^2} + 4x + 1 = 2{x^2} - 3x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{2}\\2{x^2} + 7x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\end{array}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 0.

$\sqrt {2{x^2} - 4x + 1}  = 2x + 1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\2{x^2} - 4x + 1 = 4{x^2} + 4x + 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{ - 1}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 4\\x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 0$

Suy ra phương trình có 1 nghiệm.

Điều kiện: $x-2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$

Tập xác định: $D = \left[ {2; + \infty } \right)$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = 0\\\sqrt {x - 2}  = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 3\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x \in \left\{ {2;3} \right\}$.

$\begin{array}{l}\sqrt {21 - {x^2} - 4x}  = x + 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\21 - {x^2} - 4x = {x^2} + 6x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\2{x^2} + 10x - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

ĐK: $x > 2$

$\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 4x - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} = \sqrt {x - 2} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 2 = x - 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\left( {tm} \right)\\x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có 1 nghiệm là $x = 5$

ĐKXĐ:$\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\2x - 1 \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\x \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}4x\sqrt {x + 3}  + 2\sqrt {2x - 1}  = 4{x^2} + 3x + 3\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 2.2x.\sqrt {x + 3}  + {\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2} - x - 3 - 2\sqrt {2x - 1}  + 3x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 2.2x.\sqrt {x + 3}  + {\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2} + 2x - 2\sqrt {2x - 1}  = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 2.2x.\sqrt {x + 3}  + {\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2} + 2x - 1 - 2\sqrt {2x - 1}  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 2.2x.\sqrt {x + 3}  + {\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^2} - 2.1.\sqrt {2x - 1}  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)^2} = 0\end{array}$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}{\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} \ge 0\\{\left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)^2} \ge 0\end{array} \right\}$$\Rightarrow {\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)^2} \ge 0$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi:

 $\begin{array}{l}\,\left\{ \begin{array}{l}2x - \sqrt {x + 3}  = 0\\\sqrt {2x - 1}  - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2}\\{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} - x - 3 = 0\\2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\\x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có 1 nghiệm là $x = 1$.

Điều kiện: $x \ge  - 7$

$\begin{array}{l}\sqrt {x + 8 - 2\sqrt {x + 7} }  = 2 - \sqrt {x + 1 - \sqrt {x + 7} } \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 7 - 2\sqrt {x + 7}  + 1}  = 2 - \sqrt {x + 7 - \sqrt {x + 7}  - 6} \end{array}$

Đặt $t = \sqrt {x + 7} ,\left( {t \ge 0} \right)$

Ta có: $\sqrt {{t^2} - 2t + 1}  = 2 - \sqrt {{t^2} - t - 6}$$\Leftrightarrow \left| {t - 1} \right| = 2 - \sqrt {{t^2} - t - 6}$

Nếu $t \ge 1$, ta có

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,t - 1 = 2 - \sqrt {{t^2} - t - 6} \\ \Leftrightarrow 3 - t = \sqrt {{t^2} - t - 6} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} - t - 6 = 9 - 6t + {t^2}\\t \le 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5t = 15\\t \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 7}  = 3\\ \Leftrightarrow x + 7 = 9\\ \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Nếu $t < 1$, ta có

$\begin{array}{l}1 - t = 2 - \sqrt {{t^2} - t - 6} \\ \Leftrightarrow 1 + t = \sqrt {{t^2} - t - 6} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} - t - 6 = 1 + 2t + {t^2}\\t \ge  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t =  - 7\\t \ge  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{7}{3}\\t \ge  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset \end{array}$

Vậy $S = \left\{ 2 \right\}$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} - 4x + 4}  = 3x + 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2 \ge 0\\3{x^2} - 4x + 4 = {\left( {3x + 2} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{2}{3}\\3{x^2} - 4x + 4 = 9{x^2} + 12x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{2}{3}\\6{x^2} + 16x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{2}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{8}{3}\\x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 0 \right\}$.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\7 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 7$

Khi đó $x+5>0$ nên phương trình $\Leftrightarrow \sqrt {(x - 2)(7 - x)}  = x + 5$ $\Leftrightarrow  - {x^2} + 9{x} - 14 = {x^2} + 10{x} + 25$

$\Leftrightarrow 2{x}^2 + x + 39 = 0$ , có $\Delta = -311 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.