Trên đường tròn lượng giác gốc \(A,\) bốn điểm chính giữa bốn cung phần tư thứ \(\left( I \right),\left( {II} \right),\left( {III} \right),\left( {IV} \right)\) biểu diễn các cung lượng giác có số đo nào sau đây?
Trên đường tròn lượng giác gốc A, bốn điểm chính giữa bốn cung phần tư thứ \(\left( I \right),\left( {II} \right),\left( {III} \right),\left( {IV} \right)\) biểu diễn các cung lượng giác có số đo \(\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\).
Trên đường tròn lượng giác gốc \(A,\) có bao nhiêu điểm \(M\) thỏa mãn số đo cung lượng giác bằng \(\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{5},\) với \(k\) là số nguyên.
Ta có: \(0 \le \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{5} \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow - \dfrac{5}{6} \le k \le \dfrac{{55}}{6} \)\(\Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\).
=>Có 10 giá trị nguyên của \(k.\)
Vậy có 10 điểm M trên đường tròn lượng giác.
\(\sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Trên đường tròn lượng giác (gốc \(A\)), cung lượng giác có số đo \(\alpha = - {90^0} + k{360^0}\,\,\,(k \in Z)\) có điểm cuối trùng với điểm nào sau đây ?
Trên đường tròn lượng giác (gốc \(A\)), cung lượng giác có số đo \(\alpha = - {90^0} + k{360^0}\,\,\,(k \in Z)\) có điểm cuối trùng với điểm \(B'\)
Trên đường tròn lượng giác gốc \(A\), số đo của cung lượng giác nào sau đây có các điểm biểu diễn là cả bốn điểm \(A,{\rm{ }}A',{\rm{ }}B,{\rm{ }}B'\) như hình dưới đây ?
Ta có điểm đầu là A \(\left( {{0^o}} \right)\) và cứ \({90^o} = \dfrac{\pi }{2}\) là góc đó lại quét đến điểm B, A’ ,B’.
\( \Rightarrow \) Số đo của cung lượng giác đó là \(\dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Nếu một cung lượng giác có số đo \({a^0}\) (hay \(\alpha \,rad\)) thì mọi cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối với cung lượng giác đã cho đều có số đo dạng ${a^0} + k{360^0}$ hoặc \(\alpha + k2\pi \).
Do đó số đo của một cung lượng giác có thể âm, có thể dương, có thể nằm trong đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) cũng có thể không.
Nói chung số đo của một cung lượng giác là một số thực.
Cung lượng giác nào sau đây có mút trùng với \(B\) hoặc \(B'\)
Cung lượng giác có đầu mút trùng với \(B\) hoặc \(B'\) nghĩa là có hai điểm biểu diễn, do đó số đo có dạng \(\alpha + \dfrac{{k2\pi }}{2} = \alpha + k\pi \) hoặc \(a + k{180^0}\). Loại A, B, C.
Ngoài ra số đo cung \(AB'\) bằng \( - {90^0}\) nên ta được \(a = - {90^0} + k{180^0}\).
Cho góc lượng giác \(\left( {OA,OB} \right)\) có số đo bằng $\dfrac{\pi }{5}$. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác \(\left( {OA,OB} \right)\)?
*$\dfrac{{6\pi }}{5} = \dfrac{\pi }{5} + \pi $ nên loại A.
*$ - \dfrac{{11\pi }}{5} = - \dfrac{\pi }{5} - 2\pi $ nên loại B.
*$\dfrac{{9\pi }}{5} = \dfrac{{4\pi }}{5} + \pi $ nên loại C.
*$\dfrac{{31\pi }}{5} = \dfrac{\pi }{5} + 6\pi $ nên chọn D
Cho $a = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Để \(a \in \left( {19;27} \right)\) thì giá trị của \(k\) là
Ta có: $19 < a < 27$ $ \Leftrightarrow 19 < \dfrac{\pi }{3} + k2\pi < 27$ \( \Leftrightarrow 19 - \dfrac{\pi }{3} < k2\pi < 27 - \dfrac{\pi }{3}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{57 - \pi }}{{6\pi }} < k < \dfrac{{81 - \pi }}{{6\pi }}\) \( \Rightarrow 2,85 < k < 4,13\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên $k \in \left\{ {3;4} \right\}$.
Cung \(\alpha \) có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là \(M\) trên đường tròn đơn vị như hình vẽ thì số đo của $\alpha $ là
Cung $\alpha $ có mút đầu là \(A\) và mút cuối là \(M\) theo chiều dương có số đo là $\dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi $ nên loại A,C.
Cung $\alpha $ có mút đầu là \(A\) và mút cuối là \(M\) theo chiều âm có số đo là $ - \dfrac{{3\pi }}{4}$ và chỉ có duy nhất một điểm \(M\) trên đường tròn lượng giác nên loại B.
Cho hai góc lượng giác có sđ \(\left( {Ox,Ou} \right) = - \dfrac{{5\pi }}{2} + m2\pi \), \(m \in \mathbb{Z}\) và sđ\(\left( {Ox,Ov} \right) = - \dfrac{\pi }{2} + n2\pi \), \(n \in \mathbb{Z}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: \(sd\left( {Ox,Ov} \right) - sd\left( {Ox,Ou} \right)\) \( = - \dfrac{\pi }{2} + n2\pi - \left( { - \dfrac{{5\pi }}{2} + m2\pi } \right)\)
\( = 2\pi + \left( {n - m} \right)2\pi = \left( {n - m + 1} \right)2\pi = k2\pi \)
Do đó \(Ou\) và \(Ov\) trùng nhau.
Nếu góc lượng giác có tia đầu \(Ox\) và tia cuối \(Oz\) thỏa mãn \(sd\left( {Ox,Oz} \right) = - \dfrac{{63\pi }}{2}\) thì hai tia \(Ox\) và \(Oz\)
Ta có \(sd\left( {Ox,Oz} \right) = - \dfrac{{63\pi }}{2} = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{64\pi }}{2} \) \(= \dfrac{\pi }{2} - 32\pi \) nên hai tia \(Ox\) và \(Oz\) vuông góc.
Cho hai góc lượng giác có sđ$\left( {Ox,Ou} \right) = {45^{\rm{o}}} + m{360^{\rm{o}}},m \in \mathbb{Z}$ và sđ\(\left( {Ox,Ov} \right) = - {135^{\rm{o}}} + n{360^{\rm{o}}},n \in \mathbb{Z}\). Ta có hai tia \(Ou\) và \(Ov\)
Ta có: \(sd\left( {Ox,Ou} \right) - sd\left( {Ox,Ov} \right)\) \( = {45^0} + m{360^0} - \left( { - {{135}^0} + n{{360}^0}} \right)\) \( = {180^0} + \left( {m - n} \right){360^0} = {180^0} + k{360^0}\)
$\left( {Ox,Ov} \right) = - {135^{\rm{o}}} + n{360^{\rm{o}}} = {225^{\rm{o}}} + k{360^{\rm{o}}} = {45^{\rm{o}}} + {180^{\rm{o}}} + k{360^{\rm{o}}}$$\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)$.
Vậy, Ta có hai tia \(Ou\) và \(Ov\) đối nhau
Trên đường tròn lượng giác gốc \(A\) cho các cung có số đo:
\(\left( {\rm{I}} \right)\). \(\dfrac{\pi }{4}\).
\(\left( {{\rm{II}}} \right)\). \( - \dfrac{{7\pi }}{4}\).
\(\left( {{\rm{III}}} \right)\). \(\dfrac{{13\pi }}{4}\).
\(\left( {{\rm{IV}}} \right)\). \( - \dfrac{{5\pi }}{4}\).
Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
Ta có: \( - \dfrac{{7\pi }}{4} = \dfrac{\pi }{4} - 2\pi \); \(\dfrac{{13\pi }}{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + 2\pi \); \( - \dfrac{{5\pi }}{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} - 2\pi \).
Suy ra chỉ có hai cung \(\dfrac{\pi }{4}\) và \( - \dfrac{{7\pi }}{4}\)có điểm cuối trùng nhau.
Chọn điểm $A\left( {1;0} \right)$ làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm cuối $M$ của cung lượng giác có số đo \(\dfrac{{25\pi }}{4}\).
Theo giả thiết ta có số đo cung $AM$ bằng $\dfrac{{25\pi }}{4} = \dfrac{\pi }{4} + 6\pi $, suy ra điểm $M$ trùng với điểm cuối của góc lượng giác \(\dfrac{\pi }{4}\) hay nó là điểm chính giữa của cung phần tư thứ \({\rm{I}}\).
Có bao nhiêu điểm \(M\) trên đường tròn định hướng gốc \(A\) thoả mãn số đo cung \(AM\) bằng \(\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\)?
Do \(sdAM = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k\pi }}{3} = \dfrac{{k2\pi }}{6}\) nên có \(6\) điểm biểu diễn cung lượng giác \(\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Cụ thể:
\(k = 0,sdAM = \dfrac{\pi }{3}\); \(k = 1,sdAM = \dfrac{{2\pi }}{3}\); \(k = 2,sdAM = \dfrac{{3\pi }}{3}\); \(k = 3,sdAM = \dfrac{{4\pi }}{3}\); \(k = 4,sdAM = \dfrac{{5\pi }}{3}\);\(k = 5,sdAM = 2\pi \); \(k = 6,sdAM = \dfrac{{7\pi }}{3}\).
Cung $\alpha $ có mút đầu là $A$ và mút cuối trùng với một trong bốn điểm \(M,N,P,Q\). Số đo của $\alpha $ là
Số đo cung \(AM = {45^0} = \dfrac{\pi }{4}\). Ngoài ra có bốn điểm biểu diễn tạo thành một hình vuông nên \(\alpha = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k2\pi }}{4} = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về “đường tròn định hướng”?
Đường tròn định hướng là đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là:
Chiều dương của đường tròn định hướng được quy ước là ngược chiều kim đồng hồ.
Trên đường tròn định hướng, với hai điểm \(A,B\) trên đường tròn định hướng, ta xác định:
Với hai điểm \(A,B\) trên đường tròn định hướng xác định vô số góc lượng giác tia đầu \(OA\), tia cuối \(OB\).