Cho $a = \dfrac{1}{2}$ và $\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 2$; đặt $\tan x = a$ và $\tan y = b$ với $x,y \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$, thế thì $x + y$ bằng
$\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 2\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{3}\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
$\tan \left( {x + y} \right) = \dfrac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x.\tan y}}$$ = \dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}}} = 1$$ \Rightarrow x + y = \dfrac{\pi }{4}$.
Đơn giản biểu thức \(C = \dfrac{1}{{\sin 10^\circ }} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\cos 10^\circ }}\).
\(C = \dfrac{1}{{\sin {{10}^o}}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\cos {{10}^o}}} = \dfrac{{\cos {{10}^{\rm{o}}} + \sqrt 3 \sin {{10}^{\rm{o}}}}}{{\sin {{10}^{\rm{o}}}\cos {{10}^{\rm{o}}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\cos {{10}^{\rm{o}}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin {{10}^{\rm{o}}}}}{{\dfrac{{2\sin {{10}^{\rm{o}}}\cos {{10}^{\rm{o}}}}}{4}}} = \dfrac{{4\sin {{40}^{\rm{o}}}}}{{\sin {{20}^{\rm{o}}}}} = 8\cos {20^{\rm{o}}}\).
Biểu thức ${\sin ^2}x.\tan^2 x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x$ không phụ thuộc vào $x$ và có giá trị bằng
${\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x$ $ = \left( {{{\sin }^2}x - 1} \right){\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x$.
$ = - {\cos ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x $ $= - {\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 3$.
Cho $\tan \alpha + \cot \alpha = m$. Tính giá trị biểu thức ${\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha $.
${\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^3} - 3\tan \alpha .\cot \alpha \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right) = {m^3} - 3m$.
Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{5}{4}$. Khi đó $\sin \alpha .\cos \alpha $ có giá trị bằng
$\sin \alpha .\cos \alpha = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} - \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^2} - 1} \right] = \dfrac{9}{{32}}$.
Cho $\cot \alpha = 3$. Khi đó $\dfrac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{12{{\sin }^3}\alpha + 4{{\cos }^3}\alpha }}$ có giá trị bằng
Ta có:
$\cot \alpha = 3 \Rightarrow \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 3 \Leftrightarrow \cos \alpha = 3\sin \alpha $
Thay vào biểu thức đề bài ta được:
$\dfrac{{3\sin \alpha - 2.3\sin \alpha }}{{12{{\sin }^3}\alpha + 4.{{\left( {3\sin \alpha } \right)}^3}}}$$ = \dfrac{{ - 3\sin \alpha }}{{120{{\sin }^3}\alpha }} = - \dfrac{1}{{40}}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ $ = - \dfrac{1}{{40}}\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)$ $ = - \dfrac{1}{{40}}\left( {1 + {3^2}} \right) = - \dfrac{1}{4}$
Kết quả đơn giản của biểu thức \({\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1\) bằng
\({\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1\)\( = {\left( {\dfrac{{\tan \alpha .\cos \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1\)\( = {\left( {\tan \alpha } \right)^2} + 1\)\( = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Nếu \(a = 20^\circ \) và $b = 25^\circ $ thì giá trị của $\left( {1 + \tan a} \right)\left( {1 + \tan b} \right)$ là
Ta có:
$\left( {1 + \tan a} \right)\left( {1 + \tan b} \right)$\( = 1 + \tan a + \tan b + \tan a\tan b\) \( = 1 + \tan \left( {a + b} \right)\left( {1 - \tan a\tan b} \right) + \tan a\tan b\)
\( = 1 + \tan \left( {{{20}^0} + {{25}^0}} \right)\left( {1 - \tan {{20}^0}.\tan {{25}^0}} \right) + \tan {20^0}.\tan {25^0}\) \( = 1 + \tan {45^0}\left( {1 - \tan {{20}^0}\tan {{45}^0}} \right) + \tan {20^0}\tan {25^0}\) \( = 1 + 1 - \tan {20^0}\tan {25^0} + \tan {20^0}\tan {25^0} = 2\)
Tính \(B = \dfrac{{1 + 5\cos \alpha }}{{3 - 2\cos \alpha }}\) biết \(\tan \dfrac{\alpha }{2} = 2\).
Ta có: \({\tan ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}}}{{\dfrac{{1 + \cos \alpha }}{2}}} = \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\) \( \Leftrightarrow 1 - \cos \alpha = {\tan ^2}\dfrac{\alpha }{2}\left( {1 + \cos \alpha } \right)\)
Đặt \(\tan \dfrac{\alpha }{2} = t\) thì \(\cos \alpha = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Với \(t = 2 \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{1 - 4}}{{1 + 4}} = \dfrac{{ - 3}}{5}\)
Suy ra \(B = \dfrac{{1 + 5\left( {\dfrac{{ - 3}}{5}} \right)}}{{3 - 2\left( {\dfrac{{ - 3}}{5}} \right)}} = \dfrac{{ - 2}}{{\dfrac{{21}}{5}}} = \dfrac{{ - 10}}{{21}}\).
Nếu $\alpha $ là góc nhọn và $\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{2x}}} $ thì $\tan \alpha $ bằng
Ta có: $0 < \alpha < {90^0}$$ \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\alpha }{2} < {45^0}$$ \Rightarrow 0 < \sin \dfrac{\alpha }{2} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$$ \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{2x}}} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$$ \Leftrightarrow x > 0$
${\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = 1$$ \Rightarrow \cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} $, vì $0 < \dfrac{\alpha }{2} < {45^0}$
$ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{2x}}} $$ \Rightarrow \tan \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} $
$tan\alpha = \dfrac{{2\tan \dfrac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{{2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} }}{{1 - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1} $.
Giá trị của biểu thức $A = {\tan ^2}\dfrac{\pi }{{24}} + {\cot ^2}\dfrac{\pi }{{24}}$ bằng
$A = {\tan ^2}\dfrac{\pi }{{24}} + {\cot ^2}\dfrac{\pi }{{24}}$
$ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{{24}}}} - 1 + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{{24}}}} - 1$
$ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{{24}}.\sin^2\dfrac{\pi }{{24}}}} - 2$
$ = \dfrac{4}{{\sin^2\dfrac{\pi }{{12}}}} - 2$$ = \dfrac{8}{{1 - \cos \dfrac{\pi }{6}}} - 2$
$\begin{array}{l}
= \dfrac{8}{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} - 2 = \dfrac{{16}}{{2 - \sqrt 3 }} - 2\\
= \dfrac{{16 - 4 + 2\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{12 + 2\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}
\end{array}$
Với giá trị nào của $n$ thì đẳng thức sau luôn đúng $\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x} } } = \cos \dfrac{x}{n}$, $0 < x < \dfrac{\pi }{2}$.
Vì $0 < x < \dfrac{\pi }{2}$ nên $\cos \dfrac{x}{n} > 0$, $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$
$\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x} } } $$ = \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}} } $$ = \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{4}} = \cos \dfrac{x}{8}$
Vậy $n = 8$.
