Bài tập ôn tập chương 8

Vì $\alpha  = {150^0}$  là góc tù nên $\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  < 0,\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }} < 0,\cot \alpha  < 0.$

Do đó các đáp án A, B, D đều sai. Ta chỉ xét đáp án C. Ta có $\tan {150^ \circ } =  - \tan {30^ \circ } =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.$

Đáp án A ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {DB} \\\overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {DB} \end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MA}  \ne \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MD}$

$\Rightarrow$ đáp án A sai.

Đáp án B ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {CA} \\\overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {CA} \end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MA}  \ne \overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DC}$

$\Rightarrow$ B sai.

Đáp án C ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$

$\Rightarrow$ C đúng.

Dựa vào hình vẽ ta thấy ABCD là hình bình hành nên A đúng.

$\Rightarrow AD = BC \Rightarrow$ B đúng.

Hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DC}$ cùng hướng và AB = DC nên $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow D$ đúng.

Vậy C sai. (2 đường chéo của hình bình hành không bằng nhau)

Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là 2 vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \exists k \ne 0:\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}$.

Nếu $\cos A > 0$ thì góc A nhọn hay ${b^2} + {c^2} - {a^2} > 0$ thì góc A nhọn.

$\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$ $= \dfrac{{4.1 + 3.7}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {7^2}} }} = \dfrac{{25}}{{\sqrt {25} .\sqrt {50} }}$ $= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Do đó góc giữa hai véc tơ bằng $45^0$.

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ nên ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow 0 .\end{array}$

Với điểm M bất kì khác điểm G ta chứng minh: $3\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}$

Ta có: $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}$ $= \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC}  = 3\overrightarrow {MG}$

Tương tự ta có: $3\overrightarrow {MG'}  = \overrightarrow {MA'}  + \overrightarrow {MB'}  + \overrightarrow {MC'}$

Từ đó suy ra

$\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'}  = 3\left( {\overrightarrow {MG'}  - \overrightarrow {MG} } \right) = 3\overrightarrow {MG'}  - 3\overrightarrow {MG} \\ = \overrightarrow {MA'}  + \overrightarrow {MB'}  + \overrightarrow {MC'}  - \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} \\ = \left( {\overrightarrow {MA'}  - \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB'}  - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC'}  - \overrightarrow {MC} } \right)\\ = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} .\end{array}$

Nên A đúng.

Đáp án B:

$\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'} \\ = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {C'G'}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {A'G'} \\ + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CB'}  + \overrightarrow {B'G'} \\ = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {CB'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {C'G'}  + \overrightarrow {A'G'}  + \overrightarrow {B'G'} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {CB'} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {CB'} \end{array}$

Nên B đúng.

Đáp án C:

$\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'} \\ = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {B'G'}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {C'G'} \\ + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CA'}  + \overrightarrow {A'G'} \\ = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {CA'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {B'G'}  + \overrightarrow {C'G'}  + \overrightarrow {A'G'} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {CA'} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {CA'} \end{array}$

Nên C đúng.

D sai do A đúng.

$B{M^2} = \dfrac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2} + 2{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow BM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.$

Ta có:

$\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {7; - 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 4} \right)$

Do $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = 3.4 + 3.\left( { - 4} \right) = 0$ nên $AB \bot BC$ hay tam giác $ABC$ vuông tại $B$

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {CA}  - 3\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {CA}  - 3\left( {\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CI} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {CA}  - 3\overrightarrow {CB}  + 3\overrightarrow {CI} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CI}  = 3\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI}  = \dfrac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} } \right)\end{array}$

Lấy điểm $D$ sao cho $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BD}  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1.1.\cos {120^0} =  - \dfrac{1}{2}$

(vì tam giác $ABC$ đều cạnh $1$ nên $AB = BC = 1 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 1$)

Ta có $\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID}  = \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {ID}  = 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  =  - \dfrac{{9{a^2}}}{2}$ nên chọn B.

Phương án A: do $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right)$ nên loại A.

Phương án B: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right)$, $\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 4} \right)$, $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - 8$ suy ra $\overrightarrow {AB}$ không vuông góc $\overrightarrow {BC}$ nên loại B.

Phương án C: Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right)$, $\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 2} \right)$, $\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 4} \right)$, suy ra $AB = AC = \sqrt 8$, $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$.

Nên tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Do đó chọn C.

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1$,$\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1$, $\left( {3\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a  + 5\overrightarrow b } \right) = 6{\overrightarrow a ^2} - 20{\overrightarrow b ^2} + 7\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 7$

Ta có $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)}^2}}  = \sqrt {{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }$$= \sqrt {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}  = \sqrt {21}$

Ta có: Sau $2h$ quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: ${S_1} = 30.2 = 60\,km.$

Sau $2h$ quãng đường tàu thứ hai chạy được là: ${S_2} = 40.2 = 80\,km.$

Vậy: sau $2h$ hai tàu cách nhau là: $S = \sqrt {{S_1}^2 + {S_2}^2 - 2{S_1}.{S_2}.\cos {{60}^0}}  = 20\sqrt {13} .$

Giả sử M(x; y) là điểm thỏa mãn điều kiện đề bài.

Kẻ AH vuông góc với BC. Suy ra

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}BM.AH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AH.BC \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC} \\\left( {x - 2;y} \right) = \dfrac{1}{3}\left( { - 5;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 =  - \dfrac{5}{3}\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right).\end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2M{O^2} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC.} \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right).\end{array}$

Có $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0$

$\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB}  \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0,\overrightarrow {OC}  \bot \overrightarrow {OD}  \Rightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD}  = 0$

Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính $\dfrac{a}{2} \Rightarrow MO = \dfrac{a}{2} \Rightarrow M{O^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.$

Vậy $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = 2.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$

Ta có $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + 3\overrightarrow c  = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  =  - 2\overrightarrow c$ $\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)^2} = 4{\overrightarrow c ^2}$ $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2A = 4{c^2}$

Do đó $A = \dfrac{1}{2}\left( {3{c^2} - {a^2} - {b^2}} \right)$.

Ta có $A{B^2} = 8,\,\,A{C^2} = 2 \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}$

Giả sử E (x; y) thuộc đoạn BC. Theo tính chất đường phân giác ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{EB}}{{AB}} = \dfrac{{EC}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{EB}} = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}.\\ \Rightarrow \dfrac{{\overrightarrow {EC} }}{{\overrightarrow {EB} }} =  - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {2 - x;\,\, - 2 - y} \right) =  - \dfrac{1}{2}\left( {3 - x;\,\, - 5 - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x =  - \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}x\\ - 2 - y = \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{3}\\y =  - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow E\left( {\dfrac{7}{3}; - 3} \right)\end{array}$