Dấu của tam thức bậc hai

Ta có:

$f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$ khi $a > 0$ và $\Delta  < 0$.

Ta tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

Bất phương trình $2m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 1 \le 0$ vô nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 2m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {1 - m} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\end{array}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi $m \le 1$

$\begin{array}{l}f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 3 < x < 1.\end{array}$

Phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + m - 5 = 0$ có hai nghiệm trái dấu

$\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5.$

Phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + m - 5 = 0$ có hai nghiệm trái dấu

$\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

$\Leftrightarrow 1 + {m^2} > 0\,\,\,\forall m$

$\Rightarrow$ Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ với mọi m.

Áp dụng định lý Vi-et ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\\{x_1}{x_2} =  - {m^2}\end{array} \right..$

Theo đề bài ta có: $x_1^3 + x_2^3 + 10 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^3} - 3\left( { - {m^2}} \right)\left( { - 2} \right) + 10 = 0\\ \Leftrightarrow  - 8 - 6{m^2} + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 6{m^2} = 2 \Leftrightarrow {m^2} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\{m_2} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Rightarrow {m_1}{m_2} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} =  - \dfrac{1}{3}.\end{array}$

$f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow -2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m-4$

Ta có: $\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} + 8\left( {m - 4} \right) = {m^2} + 12m - 28.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) < 0\,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < 0\,\,\forall m\\{m^2} + 12m - 28 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 14} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 14 < m < 2.\end{array}$

Vậy với $m \in \left( { - 14;2} \right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Phương trình ${x^2} + mx + 2m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4\left( {2m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 12 > 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 6} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 2\\m > 6\end{array} \right.$

Bất phương trình:$\left( {2m + 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + m + 1 > 0$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + m + 1 \le 0$ có nghiệm với mọi $m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 0\\\Delta  = 9{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m + 1} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{1}{2}\\9{m^2} + 18m + 9 - 8{m^2} - 12m - 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{1}{2}\\{m^2} + 6m + 5 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{1}{2}\\\left( {m + 1} \right)\left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{1}{2}\\ - 5 \le m \le  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 5 \le m \le  - 1.\end{array}$

Bất phương trình: ${x^2} - 2mx + 2m + 3 \ge 0$ có nghiệm đúng $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 3$

Hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương $\Leftrightarrow f\left( x \right) > 0$.

Giải: $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3 = 0$$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.$

Ta có bảng xét dấu:

$\Rightarrow f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\x > 3\end{array} \right.$

Vậy $x \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)$ thì hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương.

Hàm số $y = x + \sqrt {{x^2} + 4x - 5}$

ĐKXĐ: ${x^2} + 4x - 5 \ge 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) \ge 0$     $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le  - 5\\x \ge 1\end{array} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số $y = x + \sqrt {{x^2} + 4x - 5}$ là $D = \left( { - \infty ;\,\, - 5} \right] \cup \left[ {1;\,\, + \infty } \right)$.

Vì $a = 1 \ne 0$ nên phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 2 = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m + 2} \right) \ge 0$$\Leftrightarrow {m^2} - 6m - 7 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 1\\m \ge 7\end{array} \right.$$\Rightarrow m \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right] \cup \left[ {7;\,\, + \infty } \right)$

Vậy $m \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right] \cup \left[ {7;\,\, + \infty } \right)$

Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$$\Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 < 0$$\Leftrightarrow 1 < m < 3$

Phương trình $m{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 3} \right)^2} - {m^2} > 0\\\dfrac{m}{m} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\6m + 9 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m >  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

Vậy $m >  - \dfrac{3}{2}$ và $m \ne 0$.

$\left( {m - 1} \right){x^2} - 3mx + m - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)$

+) Với $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$, phương trình $\left( * \right)$ trở thành: $- 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow m = 1$ thì phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x =  - \dfrac{1}{3}$  $\left( 1 \right)$

+) Với $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$, phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta  < 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9{m^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 4{m^2} + 12m - 8 < 0\\ \Leftrightarrow 5{m^2} + 12m - 8 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6 - 2\sqrt {19} }}{5} < m < \dfrac{{ - 6 + 2\sqrt {19} }}{5}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$  

Kết hợp $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, bất phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\dfrac{{ - 6 - 2\sqrt {19} }}{5} < m < \dfrac{{ - 6 + 2\sqrt {19} }}{5}$.

Phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2x + m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\ - {m^2} + 2 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\ - \sqrt 2  < m < \sqrt 2 \end{array} \right.$

$\Rightarrow m \in \left( { - \sqrt 2 ;\,\,\sqrt 2 } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$

Để phương trình $\left( {m - 3} \right){x^2} + 2mx + 3 - m = 0$ có 2 nghiệm trái dấu

$\Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {3 - m} \right) < 0 \Leftrightarrow  - \left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3.$

Phương trình ${x^2} - mx + 1 = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\1 > 0\\m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 2\\m > 2\end{array} \right.\\m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m <  - 2\\m < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m <  - 2$

Phương trình ${x^2} - mx + 3m = 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\Delta  < 0$.

$\Leftrightarrow {m^2} - 12m < 0$$\Rightarrow 0 < m < 12$

Kết hợp với điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\m \in \left[ { - 10;\,\,10} \right]\end{array} \right.$$\Rightarrow m \in \left\{ {1;\,\,2;\,\, \ldots \,\,;\,\,9;\,\,10} \right\}$

Vậy có $10$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Ta có

$\begin{array}{l}( - {m^2} + 4){x^2} + 2(m + 2)x - 2 < 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 4 < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\{\left( {m + 2} \right)^2} + 2\left( { - {m^2} + 4} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\{m^2} - 4m - 12 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > 6\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array}$

Ta có  $- 2020 \le m \le 2020$ nên $\left[ \begin{array}{l} - 2020 \le m <  - 2\\6 < m \le 2020\end{array} \right.$

Vì m nguyên nên $m \in \left\{ { - 2020; - 2019;...; - 3} \right\} \cup \left\{ {7;8;...;2020} \right\}$

Do đó có $\left[ { - 3 - ( - 2020) + 1} \right] = 2018$ số nguyên từ $- 2020$ đến -3 và có $2020 - 7 + 1 = 2014$ số nguyên từ 7 đến 2020.

Vậy có 4032 số nguyên thỏa mãn.